Notation (Erinnerung). Bei Translationen bezeichnet man das Kompositum meist mit $+$ statt mit $\circ$, man schreibt also $S+T=S\circ T$. Die identische Abbildung $\mathrm{id}$, betrachtet als Translation, wird dann als Nullvektor bezeichnet, $\mathrm{id}=\overset{\rightarrow}{0}.$ Mit dieser Bezeichnung gilt: $$T+\overset{\rightarrow}{0}=T=\overset{\rightarrow}{0}+T.$$ Für beliebige Punkte $A,B,C$ gilt die Additionsformel $$\overset{\longrightarrow}{AB}+\overset{\longrightarrow}{BC}=\overset{\longrightarrow}{AC}.$$
Notation. Suggestiv ist auch die folgende Schreibweise der Vektorrechnung:
$$
A + T := T(A).
$$ Dann kann man schreiben:
$$
A + \overset{\longrightarrow}{AB} = B
$$
Versehen mit dieser Notation, wollen wir die folgende Situation betrachten: Es sei $g$ eine Gerade in der Ebene, und $A$ und $B$ unterschiedliche Punkte auf der Gerade. Der Vektor $$V =\overset{\longrightarrow}{AB}$$ beschreibt die Translation der Ebene, die den Punkt $A$ auf den Punkt $B$ abbildet. Die Gerade $g$ ist invariant unter dieser Translation. Der Vektor $$-V=\overset{\longrightarrow}{BA}$$ ist die Umkehrabbildung und verschiebt die Ebene in die entgegengesetzte Richtung. Durch Iterieren erhält man für jede natürliche Zahl $n$ die Translation $nV$, die den Punkt $A$ auf einen Punkt $P$ der Gerade $g$ abbildet, dessen Entfernung $|AP|=n|AB|$ von $A$ das $n$-fache der Entfernung des Punktes $B$ von $A$ ist. Genauso verschiebt der Vektor $-nV$ den Punkt $A$ in einen Punkt $P'$, der die gleiche Entfernung $|AP'|=|AP|=n|AB|$ von $A$ hat, wie der Punkt $P$.
Ist allgemeiner $\lambda$ eine nicht-negative reelle Zahl, so bezeichnet $\lambda V$ die Verschiebung, welche den Punkt $A$ in Richtung des Punktes $B$ verschiebt, und zwar um eine Strecke der Länge $\lambda\cdot|AB|$. Ist $\lambda$ eine negative reelle Zahl, so bezeichnet $\lambda V$ die Translation der Ebene, die den Punkt $B$ in Richtung des Punktes $A$ verschiebt um eine Strecke der Länge $|\lambda|\cdot |AB|$.
Definition. Man nennt den Vektor $\lambda V$ die Streckung des Vektors $V=\overset{\rightarrow}{AB}$ um den Faktor $\lambda\in \mathbb R$.
Insgesamt erhalten wir eine bijektive Abbildung \begin{align*}\phi:\mathbb R&\to g\\\lambda&\mapsto A+\lambda V.\end{align*} Diese Abbildung identifiziert die Gerade mit der reellen Zahlengerade. Diese Identifizierung hängt allerdings ab von der Wahl der Punkte $A$ und $B$. Wählen wir nämlich andere Punkte $A'$ und $B'$ auf der Geraden $g$, so können wir reelle Vielfache des Vektors $$V' =\overset{\longrightarrow}{A'B'}$$ benutzen, um eine weitere bijektive Abbildung \begin{align*}\phi':\mathbb R&\to g\\\lambda&\mapsto A'+\lambda V'\end{align*} zu definieren.
Jede Verschiebung $T$ der Ebene, die die Gerade $g$ invariant lässt, ist eine Streckung des Vektors $V$. Der Punkt $T(A)=A+T\in g$ ist nämlich von der Form $A+\lambda V$ für eine eindeutig bestimmte reelle Zahl $\lambda\in \mathbb R$. Die Aussage folgt, da eine Translation eindeutig durch das Bild eines Punktes, hier des Punktes $A$, bestimmt ist.
Definition. Sind $A, B, C$ Punkte auf der Geraden $g$ und $B\not= C$. Das Teilverhältnis $$
\frac{\overset{\longrightarrow}{CA}}{\overset{\longrightarrow}{CB}}
$$ ist definiert als diejenige reelle Zahl $\lambda$, für die die Gleichung $$\overset{\longrightarrow}{CA}=\lambda \overset{\longrightarrow}{CB}$$ erfüllt ist.
Es gilt also die suggestive Formel $$\overset{\longrightarrow}{CA}= \frac{\overset{\longrightarrow}{CA}}{\overset{\longrightarrow}{CB}}\cdot \overset{\longrightarrow}{CB}.$$