Definition. Eine bijektive Abbildung $f: g \rightarrow g'$ zweier Geraden $g$ und $g'$ heisst affin, wenn für beliebige verschiedene Punkte $A,B,C \in
g$ gilt $$
\frac{\overrightarrow{f(C) f(A)}}{\overrightarrow{f(C) f(B)}} = \frac{\overset{\longrightarrow}{C A}}{\overset{\longrightarrow}{CB}}.
$$
Bemerkung. Das Kompositum zweier affiner Abbildungen ist wieder affin.
Beweis. Denn sei $f':g'\to g''$ eine weitere affine Abbildung, so gilt für das Kompositum $f'\circ f$ die Gleichungskette $$ \frac{\overrightarrow{(f'\circ f)(C) (f'\circ f)(A)}}{\overrightarrow{(f'\circ f)(C)(f'\circ f)(B)}} = \frac{\overrightarrow{f'\left(f(C)\right) f'\left(f(A)\right)}}{\overrightarrow{f'\left(f(C)\right)f'\left(f(B)\right)}}= \frac{\overrightarrow{f(C) f(A)}}{\overrightarrow{f(C) f(B)}}=\frac{\overrightarrow{CA}}{\overrightarrow{CB}}.$$ Die erste Gleichung benutzt die Definition der Komposition zweier Abbildungen, die zweite benutzt die Affinität von $f'$, die dritte schließlich die Affinität von $f$. Vergleicht man die beiden Ausdrücke ganz am Anfang und am Ende der Gleichungskette, so folgt die Behauptung.
qed.
Beispiel. Es sei $\phi$ eine Isometrie der Ebene, $g$ eine Gerade in der Ebene und $g'=\phi(g)$ die Bildgerade. Die Einschränkung $f=\phi|_g$ der Abbildung $\phi$ auf die Gerade $g$ ist eine affine Abbildung $f: g \rightarrow g'$. Denn für Punkte $A,B\in g$ und $A'=f(A),B'=f(B)$ und $\lambda\in \mathbb R$ gilt $$\phi\circ \left(\lambda\overset{\longrightarrow}{AB}\right)= \left(\lambda\overset{\longrightarrow}{A'B'}\right)\circ \phi,$$ da $\phi$ Abstände erhält.
Proposition 5.1. Es seien $A, B$ zwei verschiedene Punkte auf einer Geraden $g$ und $A',B'$ zwei verschiedene Punkte auf einer Geraden $g'.$ Dann gibt es genau eine affine Abbildung $f:g \rightarrow g'$ mit $f(A) = A'$ und $f(B) = B'$.
Beweis. Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Es sei also $f$ eine affine Abbildung und $C$ ein weiterer Punkt von $g$. Dann gilt für $f(C)=C'$ die Gleichung $$
\frac{\overrightarrow{f(A)f(C)}}{\overrightarrow{f(A)f(B)}} =\frac{\overrightarrow{A'C'}}{\overrightarrow{A'B'}} = \frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AB}},
$$ da $f$ affin ist. Also ist $f(C)=C'$ durch die rechte Seite der Gleichung $$C'=A'+\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AB}}\cdot \overset{\longrightarrow}{A'B'}$$ eindeutig bestimmt.
Jeder Punkt $C$ auf der Geraden $g$ lässt sich eindeutig darstellen in der Form $$C=A+\lambda \overset{\longrightarrow}{AB}$$ für eine eindeutig bestimmte reelle Zahl $\lambda=\lambda_C$. Wenn es also eine affine Abbildung $f$ mit der geforderten Eigenschaft gibt, so ordnet sie dem Punkt $C$ den Punkt $$f(C)=A'+\lambda\overset{\longrightarrow}{A'B'}$$ zu. Es bleibt zu zeigen, dass die derart definierte Abbildung tatsächlich affin ist. Seien dazu $P,Q,R$ Punkte auf der Geraden $g$. Aus den Gleichungen \begin{align*}
P&=A+\lambda_P \overset{\longrightarrow}{AB}\\
Q&=A+\lambda_Q \overset{\longrightarrow}{AB}
\end{align*} folgt $$A=P-\lambda_P \overset{\longrightarrow}{AB}=Q-\lambda_Q \overset{\longrightarrow}{AB}.$$ Wenden wir die Translation $\lambda_Q \overset{\longrightarrow}{AB}$ auf beide Seiten der zweiten Gleichung an, so erhalten wir $$P-\lambda_P \overset{\longrightarrow}{AB}+\lambda_Q \overset{\longrightarrow}{AB}=Q$$ und damit $$\overset{\longrightarrow}{PQ}=\lambda_Q \overset{\longrightarrow}{AB}-\lambda_P \overset{\longrightarrow}{AB}=\left(\lambda_Q-\lambda_P\right) \overset{\longrightarrow}{AB}.$$ Analog erhalten wir aus den Gleichungen \begin{align*}
P&=A+\lambda_P \overset{\longrightarrow}{AB}\\
R&=A+\lambda_R \overset{\longrightarrow}{AB}
\end{align*} die Gleichung $$\overset{\longrightarrow}{PR}=\left(\lambda_R-\lambda_P\right) \overset{\longrightarrow}{AB}.$$ Vergleichen wir die Darstellungen der Vektoren $\overset{\longrightarrow}{PQ}$ und $\overset{\longrightarrow}{PR}$ als Vielfache des Vektors $\overset{\longrightarrow}{AB}$, so folgt $$ \overset{\longrightarrow}{PQ}=\frac{\lambda_Q-\lambda_P}{\lambda_R-\lambda_P} \overset{\longrightarrow}{PR}$$ und damit $$\frac{\overrightarrow{PQ}}{\overrightarrow{PR}}=\frac{\lambda_Q-\lambda_P}{\lambda_R-\lambda_P}.$$
Wenden wir die gleiche Rechnung an auf die Bilder der Punkte $P,Q,R$ unter der Abbildung $f$, so folgt aus den Darstellungen
\begin{align*}
f(P)=P'&=A'+\lambda_P \overset{\longrightarrow}{A'B'}\\
f(Q)=Q'&=A'+\lambda_Q \overset{\longrightarrow}{A'B'}\\
f(R)=R'&=A'+\lambda_R \overset{\longrightarrow}{A'B'}
\end{align*} die Gleichung $$\frac{\overrightarrow{P'Q'}}{\overrightarrow{P'R'}}=\frac{\lambda_Q-\lambda_P}{\lambda_R-\lambda_P}.$$ Damit haben wir die Affinitätsbedingung $$\frac{\overrightarrow{P'Q'}}{\overrightarrow{P'R'}}=\frac{\overrightarrow{PQ}}{\overrightarrow{PR}}$$ nachgewiesen.
qed.
Bemerkungen.
- Sind Punkte $A$ und $B$ auf einer Geraden fixiert, so gibt es zu jeder reellen Zahl $\lambda\not= 1$ genau einen Punkt $C$ auf der Geraden, mit $$\lambda=\frac{\overrightarrow{CA}}{\overrightarrow{CB}}.$$ Denn Vektoraddition liefert $$\overset{\longrightarrow}{AB}=\overset{\longrightarrow}{CB}-\overset{\longrightarrow}{CA}=(1-\lambda)\overset{\longrightarrow}{CB.}$$ Es folgt $$\overset{\longrightarrow}{CB}=\frac1{1-\lambda}\overset{\longrightarrow}{AB},\;\;\;\overset{\longrightarrow}{CA}=\frac\lambda{1-\lambda}\overset{\longrightarrow}{AB} \text{ und } C=B-\frac1{1-\lambda}\overset{\longrightarrow}{AB}.$$
- Es seien $A,B$ zwei verschiedene Punkte auf einer Geraden und $C,D$ verschiedene Punkte auf einer parallelen Gerade. Dann sind die Vektoren $\overset{\longrightarrow}{AB}$ und $\overset{\longrightarrow}{CD}$ reelle Vielfache voneinander. Es gibt also eine eindeutig bestimmte reelle Zahl $$\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}$$ für welche die Gleichung $$
\overset{\longrightarrow}{AB}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}\,\overset{\longrightarrow}{CD}$$ erfüllt ist. - Wenn man zu den Abständen $|AB|$ und $|CD|$ der Punkte übergeht, erhält man:
$$
\left| \frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}\right| = \frac{|AB|}{|CD|}.
$$ Der Betrag des Teilverhältnisses beschreibt das Verhältnis der Streckenlängen $|AB|$ und $|CD|$. - Ist $f:g\to g'$ eine affine Abbildung von Geraden, so gilt also für paarweise verschiedene Punkte $A,B,C,D\in g$ die Gleichung $$\frac{|AB|}{|CD|}=\frac{\left|f(A)f(B)\right|}{\left|f(C)f(D)\right|}.$$ Da es sich hier um positive reelle Zahlen handelt, kann man diese Relation auch umschreiben:
$$
\frac{\left|f(A)f(B)\right|}{|AB|} = \frac{\left|f(C)f(D)\right|}{|CD|}.
$$ Dieser Quotient $\alpha$ ist also unabhängig von den gewählten Punkten.
Insbesondere gilt die folgende Aussage.
Proposition 5.2. Es sei $f: g \rightarrow g'$ eine affine Abbildung von Geraden. Dann gibt es eine reelle Zahl $\alpha >0$, so dass für zwei beliebige Punkte $A,B\in g$ gilt $$
\left|f(A)f(B)\right| = \alpha\, |AB|.
$$