Definition. Eine bijektive Abbildung $\phi : \mathbb{E} \rightarrow \mathbb{E}$ der Ebene $\mathbb{E}$ auf sich nennt man eine Isometrie, wenn sie Abstände erhält: \[
\left|\phi(A) \phi(B)\right| = |AB|, \quad \mbox{für alle} \; A,B \in
\mathbb{E}
\]
Eine Abbildung $f:M\to N$ zwischen zwei Mengen ordnet jedem Element $m$ der Menge $M$ ein Element $f(m)$ in der Menge $N$ zu. Eine solche Abbildung $f$ heisst bijektiv, wenn es zu jedem Element $n\in N$ des Bildbereichs genau ein Element $m\in M$ des Definitionsbereichs gibt, das auf $n$ abgebildet wird, also die Gleichung $f(m)=n$ erfüllt. Zu einer bijektiven Abbildung $f:M\to N$ gibt es immer eine Umkehrabbildung $f^{-1}:N\to M$ in umgekehrter Richtung. Diese Umkehrabbildung ordnet jedem $n\in N$ das eindeutig bestimmte Element $m\in M$ zu, für das gilt $n=f(m)$. Diese und andere Grundbegriffe der Mengentheorie, die in dieser Vorlesung vorkommen werden, sind hier näher besprochen.
Offensichtlich ist die Umkehrabbildung $\phi^{-1}$ einer Isometrie wieder eine Isometrie. Die identische Abbildung $$
\mathrm{id}:\mathbb E\to\mathbb E;\;\;\;\mathrm{id}(P) = P, \quad \text{für alle}\; P \in\mathbb{E}
$$ ist ganz klar eine Isometrie.
Eine Isometrie bildet eine Strecke wieder auf eine Strecke ab. Denn eine Strecke ist charakterisiert als die Menge der Punkte, für welche das Gleichheitszeichen in der Dreiecksungleichung gilt. Wir folgern, dass eine Isometrie Geraden auf Geraden abbildet. Genauso sieht man, das eine Isometrie Kreise wieder auf Kreise abbildet. Denn ein Kreis ist definiert als die Menge aller Punkte der Ebene, welche vom Kreismittelpunkt einen vorgegebenen Abstand besitzen.
Im Folgenden werden wir uns einige Arten von Isometrien genauer ansehen.