Definition. Ein Endomorphismus $f$ eines Vektorraums $V$ heißt diagonalisierbar, wenn $V$ eine Basis aus Eigenvektoren besitzt. Bezüglich einer solchen Basis wird $f$ durch eine Diagonalmatrix beschrieben.
Wird ein Endomorphismus $f$ durch eine Diagonalmatrix
$$\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)=
\begin{pmatrix}\lambda_1& & 0\\
& \ddots&\\
0 & & \lambda_n
\end{pmatrix}.
$$ beschrieben, so zerfällt das charakteristische Polynom von $f$ offenbar in Linearfaktoren
\[\chi_f(t)=\prod_{i=1}^n(t-\lambda_i).\]
Satz. Sei $f\colon V\to V$ Endomorphismus eines $n$-dimensionalen Vektorraums und $\lambda_1,\ldots,\lambda_r$ paarweise verschiedene Eigenwerte von $f$. Äquivalent sind folgende Aussagen:
- Der Endomorphismus $f$ ist diagonalisierbar.
- Der Vektorraum $V$ ist direkte Summe von Eigenräumen \[V=\oplus_{i=1}^rV(f,\lambda_i).\]
- Bezeichnet $n_i$ die Dimension des Eigenraums $V(f,\lambda_i))$, so ist das charakteristische Polynom von $f$ gleich
\[\chi_f(t)=\prod_{i=1}^r(t-\lambda_i)^{n_i}.\]
Beweis. Wir beweisen die Implikationen $1.\Rightarrow 3.\Rightarrow 2.\Rightarrow 1.$
$1. \Rightarrow 3.$ Der Endomorphismus $f$ wird bezüglich einer Basis von Eigenvektoren durch eine Diagonalmatrix
\[\mathrm{diag}(\mu_1,\ldots,\mu_n)\] beschrieben und das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren
\[\chi_f(t)=\prod_{j=1}^n(t-\mu_j).\] Kommt der Eigenwert $\lambda_i$ unter den $\mu_j$ genau $n_i$-mal vor, so gilt einerseits
\[\chi_f(t)=\prod_{i=1}^r(t-\lambda_i)^{n_i},\] das heißt, $n_i$ ist die Vielfachheit von $\lambda_i$ als Nullstelle des charakteristischen Polyoms. Andererseits
gibt es in der gewählten Basis von Eigenvektoren von $f$ genau $n_i$ Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda_i$. Der davon aufgespannte Unterraum $V(f,\lambda_i)$ besitzt die Dimension $n_i$.
$3.\Rightarrow 2.$ Das charakteristische Polynom $\chi_f$ hat den Grad $n$. Es folgt
\[n=\sum_{i=1}^rn_i=\sum_{i=1}^r \dim(V(f,\lambda_i)).\] Die aus den Inklusionen der Summanden geformte Abbildung
\[j\colon \oplus_{i=1}^rV(f,\lambda_i)\to V\] ist injektiv. Denn sei $v=(v_1,\ldots,v_r)$ im Kern dieser Abbildung. Sollte es unter den $v_i$ Nicht-Nullvektoren geben, so wären diese Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten und folglich linear unabhängig. Dies kann aber nicht sein, denn es gilt $v_1+\ldots+v_r=0$. Also ist $j$ injektiv und aus Dimensionsgründen auch surjektiv.
$2.\Rightarrow 1.$ Wähle zu jedem $V(f,\lambda_i)$ eine Basis.
qed
Korollar. Besitzt ein Endomorphismus eines $n$-dimensionalen Vektorraums $n$ verschiedene Eigenwerte, so ist dieser Endomorphismus diagonalisierbar.
Beweis.
Mit der Notation aus obigen Beweis gilt $1\le \dim(V(f,\lambda_i))\le n_i=1$.
qed