Wir betrachten einen Ring $R$ mit Eins.
Definition. Ein $R$-Links-Modul besteht aus einer abelschen Gruppe $(M,+)$, sowie einer Verknüpfung $\cdot\,\colon R\times M\to M$, genannt Multiplikation mit Skalaren, die den folgenden Bedingungen genügen: Für $r,r'\in R$ und $m,m'\in M$ gelten
- das Assoziativgesetz $r\cdot(r'\cdot m)=(rr')\cdot m$,
- die Unitarität $1\cdot m=m$,
- und die Distributivgesetze $r\cdot(m+m')= (r\cdot m)+(r\cdot m')$ und $(r+r')\cdot m= (r\cdot m)+(r'\cdot m)$.
In ähnlicher Weise werden Rechts-Moduln definiert:
Definition. Ein $R$-Rechts-Modul besteht aus einer abelschen Gruppe $(M,+)$, sowie einer Verknüpfung $\cdot\,\colon M\times R\to M$, die analogen Bedingungen genügen:
- $m\cdot(rr')=(m\cdot r)\cdot r'$,
- $m\cdot 1=m$,
- $m\cdot(r+r')= (m\cdot r)+(m\cdot r')$ und $(m+m')\cdot r= (m\cdot r)+(m'\cdot r)$.
Definition. Es seien $R,R'$ zwei Ringe. Ein $R-R'$-Bimodul besteht aus einer abelschen Gruppe $(M,+)$, sowie Verknüpfungen $R\times M\to M$ und $M\times R'\to M$, welche $M$ zu einem $R$-Links-Modul und zu einem $R'$-Rechts-Modul machen, so dass die Assoziativitätsbedingung $(r\cdot m)\cdot r'=r\cdot (m\cdot r')$ erfüllt ist.
Im Folgenden werden wir uns vornehmlich mit Links-Moduln beschäftigen und diese dann der Einfachheit halber Moduln nennen.
Beispiele.
- Der Null-Modul besteht aus der trivialen Gruppe $\{0\}$ und ist sowohl Links- als auch Rechts-Modul oder Bimodul über jedem Ring.
- Jede abelsche Gruppe $A$ ist Links- als auch Rechts-Modul oder Bimodul über $\mathbb Z$.
- Handelt es sich bei dem Ring um einen kommutativen Körper $K$, so sind $K$-Moduln nichts Anderes als $K$-Vektorräume.
- Jeder Ring $R$ ist nach Belieben ein $R$-Links-Modul, ein $R$-Rechts-Modul, oder ein $R-R$-Bimodul über sich selbst, wenn man die Ringaddition als Modul-Addition und die Ringmultiplikation als Multiplikation mit Skalaren auffasst.
- Die Menge $R^n=\{(a_1,\ldots,a_n)\;\vert \;a_i\in R\}$ geordneter $n$-Tupel von Elementen von $R$ ist $R$-Modul vermöge der komponentenweise Addition $$ (a_1,\ldots,a_n)+(b_1,\ldots,b_n):= (a_1 +b_1,\ldots,a_n+b_n) $$ und der Multiplikation mit Skalaren $$ r\cdot (a_1,\ldots,a_n):=(ra_1,\ldots,ra_n). $$
- Die Menge $Mat_R(m,n)$ der $m\times n$-Matrizen $A=(a_{ij})$ mit Einträgen $a_{ij}\in R$ aus einem Ring $R$ bilden einen $Mat_R(m,m)-Mat_R(n,n)$-Bimodul.
- Für eine Menge $X$ bezeichne $Abb(X,R)$ die Menge aller Abbildungen $f:X\to R$. Auf $Abb(X,R)$ sind Addition und Multiplikation mit Skalaren punktweise definiert. Derart wird $Abb(X,R)$ ein $R$-Modul. Das fünfte Beispiel ist der Spezialfall $Abb(\{1,\ldots,n\},R)$.
Einen entscheidenden Unterschied zwischen Moduln über Ringen und Moduln über Körpern, d.h. Vektorräumen, kann man schon am zweiten Beispiel studieren. Jeder endlich erzeugte $K$-Vektorraum ist isomorph zu einem $K^n$. Das gilt nicht für Moduln. Denn die Restklassenringe $\mathbb Z/m$ für $m\in \mathbb N$ sind zwar $\mathbb Z$-Moduln, aber sicherlich nicht von der Form $\mathbb Z^n$.