In einer Gleichung der Form $$A\ast B=C$$ seien zwei der drei Größen $A,B$ und $C$ bekannt. Was lässt sich über die dritte, unbekannte Größe sagen? In diesem Kapitel werden algebraische Strukturen beschrieben, die es erlauben, eine derartige Frage vollständig zu beantworten.
Das Symbol $\ast$ in der obigen Gleichung steht für eine Verknüpfung. Zwei solche Verknüpfungen, die Addition und die Multiplikation von Zahlen, haben wir schon kennengelernt. Zwei weitere solche Verknüpfungen, Addition und Multiplikation von Matrizen, will ich nun vorstellen.
Definition. Ein rechteckiges Schema $$A=\left(a_{ij}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & & \vdots\\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
\end{array}\right)
$$ von Zahlen $a_{ij}$ heißt $m\times n$-Matrix (sprich "em kreuz en Matrix") oder kurz Matrix. Dabei ist $i\in\{1,\ldots,m\}$ der Zeilenindex und $j\in\{1,\ldots,n\}$ der Spaltenindex. Einzeilige Matrizen nennt man auch Zeilenvektoren, einspaltige Matrizen analog Spaltenvektoren.
Eine Matrix ist ein Instrument der Buchführung. Eine $3\times 4$-Matrix besteht aus $12$ Zahlen, hingeschrieben in einer festgelegten Ordnung, bestehend aus drei Reihen und vier Spalten, und zur Abgrenzung versehen mit einer Klammer. Die Telefonmatrix $$\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{array}\right)
$$ ist ein Beispiel einer $3\times 3$-Matrix, die Null-Matrix $$\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right) $$ ein weiteres.
Addition von Matrizen. Matrizen gleichen Formats, das heißt jeweils gleicher Anzahl von Zeilen und Spalten, lassen sich addieren, indem man die an der gleichen Position stehenden Zahlen addiert, also $$
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & & \vdots\\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
\end{array}\right)
+
\left(\begin{array}{ccc}
b_{11} & \cdots & b_{1n}\\
\vdots & & \vdots\\
b_{m1} & \cdots & b_{mn}
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}+b_{11} & \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\
\vdots & & \vdots\\
a_{m1}+b_{m1} & \cdots & a_{mn}+b_{mn}
\end{array}\right)
$$ oder kurz $$
A+B=\left(a_{ij}+b_{ij}\right).$$ Hier ein Beispiel von $3\times 4$-Matrizen:
$$
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 4 & 2\\
2 & 3 & 7 & 5\\
4 & 2 & 3 & 1
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}
2 & 1 & 1 & 4\\
5 & 2 & 2 & 3\\
2 & 7 & 3 & 8
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
3 & 2 & 5 & 6\\
7 & 5 & 9 & 8\\
6 & 9 & 6 & 9
\end{array}\right).
$$
Multiplikation von Matrizen. Matrizen kann man miteinander multiplizieren, falls sie zueinander passende Formate besitzen. Genauer muss die Anzahl der Spalten der ersten Matrix im Produkt mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmen. Das Produkt $A\cdot B$ einer $m\times n$-Matrix $A$ mit einer $n\times p$-Matrix $B$ ist dann eine $m\times p$-Matrix $C$. Der Eintrag $c_{ik}$ in der $i$-ten Zeile und $k$-ten Spalte dieser Matrix ist das Produkt der $i$-ten Zeile der ersten Matrix und der $k$-ten Spalte der zweiten. Die Merkregel Zeile mal Spalte lautet in Formeln
$$c_{ik} = a_{i1}\cdot b_{1k}+a_{i2}\cdot b_{2k}+\ldots+a_{in}\cdot b_{nk}
= \sum_{j=1}^{n}a_{ij}\cdot b_{jk}.
$$ Will man die Matrizen in voller Herrlichkeit darstellen, so ergibt sich also
$$
\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & \cdots & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & & & \vdots\\
a_{m1} & \cdots & \cdots & a_{mn}
\end{array}\right)
\cdot
\left(\begin{array}{ccc}
b_{11} & \cdots & b_{1p}\\
\vdots & & \vdots\\
\vdots & & \vdots\\
b_{n1} & \cdots & b_{np}
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{ccc}
\sum_{j=1}^n a_{1j}b_{j1} & \cdots & \sum_{j=1}^n a_{1j}b_{jp}\\
\vdots & & \vdots\\
\sum_{j=1}^n a_{mj}b_{j1} & \cdots & \sum_{j=1}^n a_{mj}b_{jp}
\end{array}\right).
$$ Hier ein Zahlenbeispiel:
$$
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 4 \\
2 & 3 & 7
\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{cccc}
2 & 1 & 1 & 4\\
5 & 2 & 2 & 3\\
2 & 7 & 3 & 8
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
15 & 31 & 15 & 39\\
33 & 57 & 29 & 73
\end{array}\right).
$$
Matrizenmultiplikation und lineare Gleichungssysteme. Ist $A=\left(a_{ij}\right)$ eine $m\times n$-Matrix, $x$ ein Spaltenvektor mit $n$ Einträgen, und $c$ ein Spaltenvektor mit $m$ Einträgen, so ist die Gleichung $$A\cdot x=c$$ eine kompakte Schreibweise für das lineare Gleichungssystem
$$\begin{array}{ccccccccc}
a_{11}\cdot x_1 & + & a_{12}\cdot x_2 & + & \ldots & + & a_{1n}\cdot x_n & = & c_1\\
a_{21}\cdot x_1 & + & a_{22}\cdot x_2 & + & \ldots & + & a_{2n}\cdot x_n & = & c_2\\
\vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots\\
a_{m1}\cdot x_1 & + & a_{m2}\cdot x_2 & + & \ldots & + & a_{mn}\cdot x_n & = & c_m
\end{array}
$$ von $m$ Gleichungen in $n$ Unbekannten.