Normalformen

In diesem Kapitel betrachten wir Vektorräume über einem fixierten Körper $K$. Es sei $\phi\colon V\to V$ ein Endomorphismus eines endlich dimensionalen Vektorraumes. Wird $f$ bezüglich zweier Basen durch Matrizen $A$ und $B$ beschrieben, so gibt es nach der Basiswechselformel eine invertierbare Matrix $S$ mit
$$
A= S^{-1}BS.
$$ Wir nennen zwei Matrizen konjugiert (oder ähnlich), falls so eine Relation besteht. Konjugation definiert eine Äquivalenzrelation auf dem Raum der $(n\times n)$-Matrizen über einem Körper $K$. Beim Normalformenproblem stellen wir uns die Aufgabe, die Äquivalenzklassen konjugierter Matrizen zu klassifizieren.
Für die Klassifikationstheorie entscheidend die Beobachtung, dass ein Endomorphismus $\phi$ eines $K$-Vektorraums $V$ diesen zu einem Modul über dem Polynomring $K[X]$ macht. Wir wissen schon, dass $V$ ein Modul über dem Endomorphismenring $\mathrm{end}(V)$ ist. Fixieren wir einen Endomorphismus $\phi$, so liefert die Zuordnung $X\mapsto \phi$ eindeutig einen Ringhomomophismus $$K[X]\to \mathrm{end}(V).$$ Einem Polynom der Form
$$
P=\; a_n X^n+a_{n-1} X^{n-1}+\ldots +a_0 X^0
$$ wird dabei der Endomorphismus
$$
P(\phi)=\; a_n \phi^n+a_{n-1} \phi^{n-1}+\ldots +a_0 \phi^0\colon V\to V,
$$ zugeordnet, der durch Iteration und Linearkombination aus der Abbildung $\phi$ entsteht. Hier ist $\phi^0$ die identische Abbildung auf $V$. Die Modulstruktur auf $V$ wird also beschrieben durch folgenden Multiplikation mit Skalaren \begin{align*}K[X]\times V&\to V\\(P,v)&\mapsto P(\phi)\cdot v.
\end{align*} Wie wir im vorhergehenden Kapitel gesehen haben, lassen sich Moduln über Hauptidealringen, wie zum Beispiel dem Polynomring $K[X]$, klassifizieren. In diesem Kapitel wollen wir untersuchen, was diese Klassifikation über das soeben erwähnte Normalformenproblem aussagt.