Viele der Begrifflichkeiten, die wir im Zusammenhang mit Vektorräumen kennengelernt haben, machen auch für Moduln über Ringen Sinn. Wenn im Folgenden von Moduln die Rede ist, so sind das im Zweifelsfalle immer $R$-Links-Moduln.
Definition. Eine Abbildung $\phi:M\to N$ zwischen $R$-Moduln ist ein $R$-Modul-Homomorphismus, falls gilt \begin{eqnarray*} \phi(m+m')&=&\phi(m)+\phi(m')\\\phi(rm)&=&r\cdot\phi(m)
\end{eqnarray*}für alle $r\in R$ und $m,m'\in M$.
Bemerkungen.
- Die Komposition zweier Homomorphismen ist wieder ein Homomorphismus.
- Die Menge $\hom_R(M,N)$ aller $R$-Modul-Homomorphismen ist eine Gruppe vermöge der Addition $$\left(\phi+\psi\right)(m)=\phi(m)+\psi(m).$$ Falls $R$ ein kommutativer Ring ist, so ist $\hom_R(M,N)$ sogar ein $R$-Modul, denn dann ist mit $\phi$ auch die durch $$\left(r\phi\right)(m):=r\cdot \phi(m)$$ beschriebene Abbildung ein $R$-Modul-Homomorphismus.
- Homomorphismen $\mu:M'\to M$ und $\nu:N\to N'$ induzieren Gruppenhomomorphismen \begin{eqnarray*} \mu^*:\hom_R(M,N)\to\hom_R(M',N),&\mu^*(\phi)=\phi\circ\mu;\\
\nu_*:\hom_R(M,N)\to\hom_R(M,N'),&\nu_*(\phi)=\nu\circ\phi.
\end{eqnarray*} Die Abbildungen $\mu^*$ und $\nu_*$ sind $R$-Modul-Homomorphismen, falls $R$ kommutativ ist.
Für invektive, surjektive oder bijektive Modul-Homomorphismen benutzen wir dieselben Vokabeln Monomorphismus, Epimorphismus, Isomorphismus wie schon zuvor für Homomorphismen zwischen Vektorräumen.
Definition. Es sei $M$ ein $R$-Modul.
Lemma. Ist $\phi:M\to N$ ein $R$-Modul-Homomorphismus, so induziert $\phi$ einen Isomorphismus von $R$-Moduln $$M/\ker(\phi)\cong \mathrm{im}(\phi).$$
Beweis. Die Zuordnung $m+\ker\phi\mapsto \phi(m)$ ist wohldefiniert, da ein Element $m'\in m+\ker\phi$ von der Form $m'=m+k$ mit $k\in \ker\phi$ ist, und folglich gilt $\phi(m')=\phi(m)+\phi(k)=\phi(m)$. Somit liefert diese Zuordnung einen Epimorphismus $M/\ker(\phi)\to\mathrm{im}(\phi)$. Dieser Epimorphismus ist auch injektiv: Denn sind $m+\ker\phi$ und $m'+\ker\phi$ im Urbild von $\phi(m)$, so ist $\phi(m'-m)=0$, also $m-m'\in \ker\phi$.
qed.
Der Durchschnitt von Untermoduln eines $R$-Moduls ist wieder ein Untermodul. Ist $S\subset M$ eine Teilmenge, so wird der Durchschnitt aller $S$ enthaltenden Untermodule, der von $S$ erzeugte Untermodul, beschrieben als Menge aller $R$-Linearkombinationen endlicher Länge $$\langle S\rangle=\left\{\sum_{s\in S}r_s s\;\vert\;r_s\in R, r_s=0 \text{ für alle bis auf endlich viele }s\in S\right\}. $$ Ist $S$ endlich, so heißt $\langle S\rangle$ endlich erzeugt.
Eine Teilmenge $S\subset M$ eines $R$-Moduls heißt linear unabhängig, wenn aus einer Darstellung der Null als $R$-Linearkombination $r_1s_1+\ldots+r_ns_n=0$ endlich vieler, paarweise verschiedener Elemente $s_1,\ldots,s_n$ aus $S$ immer folgt $r_1=\ldots=r_n=0$. Man nennt $S$ Basis von $M$, wenn $S$ linear unabhängig ist und $M=\langle S\rangle$ gilt. Besitzt $M$ eine Basis, so heißt $M$ ein freier $R$-Modul. Wie im Falle von Vektorräumen werden freie Moduln durch eine universelle Eigenschaft beschrieben:
Proposition. Es sei $M$ ein freier $R$-Modul mit Basis $S$. Ist $\phi:M\to N$ eine $R$-lineare Abbildung, so ist $\phi$ durch die Werte auf $S$ bestimmt. Zu jeder Wahl von Elementen $n_s\in N, s\in S$ gibt es genau eine $R$-lineare Abbildung $\psi$ mit $\psi(s)=n_s$.
Beweis. Wegen der $R$-Linearität ist jeder Homomorphismus schon durch seine Werte auf einem Erzeugendensystem bestimmt. Ist darüber hinaus $S$ linear unabhängig, so lässt sich jedes Element $m\in M$ lässt sich eindeutig als Linearkombination $$m=\sum_{s\in S}r_s s$$ endlicher Länge darstellen. Die durch die Vorschrift $$\psi(m)=\sum_{s\in S}r_s n_s$$ beschriebene Abbildung $\psi:M\to N$ ist wegen dieser Eindeutigkeit wohldefiniert und nebenbei auch $R$-linear.
qed.
Hat ein freier $R$-Modul $F$ eine $n$-elementige Basis, so heißt $n$ der Rang von $F$. Der Modul $F$ ist dann isomorph zu $R^n$. Man kann zeigen, dass der Rang wohldefiniert ist, falls der Ring $R$ kommutativ ist. Allgemein gilt das nicht.