Im Falle von reellen Vektorräumen kann die Determinante anschaulich beschrieben werden: Der Betrag der Determinante ist der Faktor, um den sich das Volumen von Teilmengen des $\mathbb{R}^n$ unter einer linearen Abbildung verändert. An dieser Stelle müssen wir leider etwas vage bleiben; ich will Ihnen hier nicht erklären, wie das Volumen definiert wird. Das ist nämlich erstaunlich schwierig. Wir wollen uns mit der Anschauung begnügen: Wie ändert sich das Volumen, zum Beispiel eines Quaders $Q=[0,1]^n$, unter einem Endomorphismus $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$? Das Volumen des Quaders sollte gleich dem Produkt der Kantenlängen sein, also $vol(Q)=1$. Unter einer Streckung um den Faktor $r$ wird eine der Kanten um den Faktor $|r|$ verändert, die Längen der restlichen Kanten bleiben erhalten. Bei einer Scherung $E_{ij}(r)$ wird das in der von den Koordinaten $i$ und $j$ aufgespannten Ebene liegende Quadrat (eine ,,Seite'' von $Q$) auf ein Parallelogramm mit Fläche $1$ abgebildet; die restlichen Kanten bleiben erhalten. Scherungen ändern also nicht das Volumen eines Quaders. Da jede lineare Abbildung als Komposition von Streckungen und Scherungen dargestellt werden kann, erhalten wir:
Beobachtung: Ist $Q\subset \mathbb{R}^n$ ein Quader mit Volumen $vol(Q)$ und ist $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ eine lineare Abbildung, so gilt für das Volumen des Bildes
\[vol(f(Q))=|det(f)|\cdot vol(Q).\]
Das Betragszeichen an dieser Stelle erscheint zuerst etwas verwirrend. Dies sollte man als Chance begreifen, statt des Volumens ein orientiertes Volumen zu betrachten, für das dann gilt \[orvol(f(Q))=det(f)\cdot orvol(Q).\] Dieses orientierte Volumen enthält mehr geometrische Information als das Volumen allein. Dass der Begriff der Orientierung auch in der realen Welt von Bedeutung ist, wird einem spätestens beim Versuch, in London lebend die Straße zu überqueren, unmittelbar einsichtig.