Lemma. Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $\phi^*$ adjungiert zu einem Endomorphismus $\phi\in\mathrm{end_\mathbb R}(V)$. Dann ist $\mathbb C\otimes_\mathbb R\phi^*$ adjungiert zum Endomorphismus $\mathbb C\otimes_\mathbb R\phi\in\mathrm{end_\mathbb C}(\mathbb C\otimes_\mathbb RV)$.
Beweis. Stures Einsetzen der Definitionen liefert für $w=(v_0,v_1), w'=(v_0',v_1')\in \mathbb C\otimes_\mathbb R V$ die Gleichungskette \begin{eqnarray*} \left\langle \left(\mathbb C\otimes_\mathbb R\phi^*\right)w,w' \right\rangle_W&=
&\left\langle\phi^*v_0,v_0'\right\rangle_V+\left\langle\phi^*v_1,v_1'\right\rangle_V+i\left\langle-\phi^*v_1,v_0'\right\rangle_V+i\left\langle\phi^*v_0,v_1'\right\rangle_V\\
&=&\left\langle v_0,\phi v_0'\right\rangle_V+\left\langle v_1,\phi v_1'\right\rangle_V+i\left\langle-v_1,\phi v_0'\right\rangle_V+i\left\langle v_0,\phi v_1'\right\rangle_V\\
&=&\left\langle w,\left(\mathbb C\otimes_\mathbb R\phi\right) w' \right\rangle_W.
\end{eqnarray*}qed.
Korollar. Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $\phi\in\mathrm{end_\mathbb R}(V)$ normal, so ist auch $\mathbb C\otimes_\mathbb R\phi\in\mathrm{end_\mathbb C}(\mathbb C\otimes_\mathbb RV)$ normal.
Beweis. Es gilt $$\left(\mathbb C\otimes_\mathbb R\phi\right)\circ\left(\mathbb C\otimes_\mathbb R\phi\right)^*=\mathbb C\otimes_\mathbb R\left(\phi\circ\phi^*\right)=\mathbb C\otimes_\mathbb R\left(\phi^*\circ\phi\right)=\left(\mathbb C\otimes_\mathbb R\phi\right)^*\circ\left(\mathbb C\otimes_\mathbb R\phi\right).$$ qed.
Damit können wir den bereits avisierten Satz beweisen:
Satz. Es sei $V$ ein endlich dimensionaler, euklidischer Vektorraum. Ein Endomorphismus $\phi$ ist genau dann normal, wenn $V$ eine ON-Basis besitzt, bezüglich derer $\phi$ durch eine Matrix der Gestalt \begin{pmatrix}\lambda_1\\& \ddots\\ && \lambda_k\\ &&& A_{1}\\&&&& \ddots\\ &&&&& A_l \end{pmatrix} beschrieben wird, wobei $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ die reellen Eigenwerte von $\phi$ sind. Die Terme $A_1,\ldots,A_l$ bezeichnen reelle $2\times 2$-Matrizen der Form \[\begin{pmatrix}a&b\\-b&a \end{pmatrix}.\] Jede solche Matrix entspricht einem Paar $\lambda, \overline\lambda$ von konjugiert-komplexen Eigenwerten von $\phi$ der Form $\lambda=a+ib$.
Beweis. Der Endomorphismus $\psi=\mathbb C\otimes_\mathbb R\phi$ des komplexen Vektorraums $W=\mathbb C\otimes_\mathbb R V$ mit reeller Struktur $\tau$ ist, wie auch die adjungierte Abbildung $\psi^*$, reell linear.
Ist $\phi$ normal, so ist nach dem obigen Korollar auch $\psi$ normal. Wegen des bereits bewiesenen Satzes für Endomorphismen von komplexen Vektorräumen wissen wir, dass der komplexe Vektorraum $W$ eine ON-Basis von Eigenvektoren zu $\psi$ besitzt. Insbesondere ist $W$ eine orthogonale Summe von Eigenräumen $U(\lambda)$ von $\psi$. Ist nun $e\in W$ ein Eigenvektor von $\psi$ zum Eigenwert $\lambda\in \mathbb C$, so ist $\tau(e)$ wegen der Gleichungskette $$\psi\left(\tau(e)\right)=\tau\left(\psi(e)\right)=\tau\left(\lambda e\right)=\overline\lambda \tau(e)$$ Eigenvektor zum Eigenwert $\overline\lambda$. Es gilt also $$\tau\left(U(\lambda)\right)\subset U(\overline\lambda)$$ und wegen $\tau^2=\mathrm{id}$ sogar Gleichheit.
Ist $\lambda $ reell, also $\tau\left(U(\lambda)\right)= U(\lambda)$, so ist die Einschränkung von $\tau $ auf $U(\lambda)$ eine reelle Struktur und eine ON-Basis des reellen Vektorraums $Re\left(U(\lambda)\right)$ ist gleichzeitig eine ON-Basis des komplexen Vektorraums $U(\lambda)$. Die Einschränkung von $\phi=Re(\psi)$ auf $Re \left(U(\lambda)\right)\subset V$ wird repräsentiert durch das $\lambda$-fache der Einheitsmatrix.
Sei nun $\lambda =a+ib$ nicht reell, und $e$ ein Vektor der Länge $1$ im komplexen Vektorraum $U(\lambda)$. Wir definieren zwei Vektoren $$f=\frac1{\sqrt2}\left(e+\tau(e)\right), g=\frac1{i\sqrt2}\left(e-\tau(e)\right).$$ Beide Vektoren haben Länge $1$ und sind senkrecht zueinander. Außerdem gilt $f,g\in Re\left(U(\lambda)\oplus U(\overline\lambda)\right)$ und $e=\frac1{\sqrt2}(f+ig), \tau(e)=\frac1{\sqrt2}(f-ig).$
Wegen \begin{eqnarray*} \phi(f)&=&\psi(f)=\frac1{\sqrt2}\left(\lambda e+\overline\lambda \tau(e)\right)=\frac1{\sqrt2}\left(a(e+\tau(e))+ib(e-\tau(e))\right)\\&=&af-bg\\
\phi(g)&=&\psi(g)=\frac1{i\sqrt2}\left(\lambda e-\overline\lambda \tau(e)\right)=\frac1{i\sqrt2}\left(a(e-\tau(e))+ib(e+\tau(e))\right)\\&=&bf+ag
\end{eqnarray*} wird $\phi$ bezüglich der Vektoren $f,g$ dargestellt durch eine Matrix der Form \[A(\lambda)=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a \end{pmatrix}.\] Ist nun $e_1,\ldots,e_n$ eine ON-Basis von $U(\lambda)$, so ist $f_1,g_1,\ldots,f_n,g_n$ eine ON-Basis von $Re\left(U(\lambda)\oplus U(\overline\lambda)\right)$ bezüglich derer die Abbildung $\phi$ durch eine $2n\times 2n$-Matrix mit $2\times 2$-Matrizen $A(\lambda)$ in der Diagonalen und Null-Einträgen sonst.
Ist umgekehrt der Endomorphismus $\phi$ beschrieben durch eine Matrix der beschriebenen Gestalt bezüglich einer ON-Basis von Vektoren $e_k, f_l,g_l$, so bilden die analog konstruierten Vektoren $e_k,e_l=\frac1{\sqrt2}(f_l+ig_l)$ und $\tau(e_l)=\frac1{\sqrt2}(f_l-ig_l)$ eine Basis von Eigenvektoren von $\psi=\mathbb C\otimes_\mathbb R \phi$. Wegen der bereits bewiesenen komplexen Version des Satzes ist $\psi$ normal und folglich auch $\phi=Re(\psi)$.
qed.