Es sei $\phi:V\to W$ eine lineare Abbildung zwischen Hilberträumen mit Skalarprodukten $\langle \;.\;,\;.\;\rangle_V$ und $\langle \;.\;,\;.\;\rangle_W$.
Definition. Eine lineare Abbildung $\phi^*:W\to V$ heißt zu $\phi$ adjungiert, falls die Gleichung $$\langle w,\phi(v)\rangle_W=\langle \phi^*(w),v\rangle_V$$ für alle $v\in V$ und alle $w\in W$ erfüllt ist.
Adjungierte Abbildungen existieren nicht immer. Wenn sie existieren, so sind sie eindeutig bestimmt, denn sind $\phi^*$ und $\phi^§$ zu $\phi$ adjungiert, so gilt die Gleichung $$\left\langle \phi^*w-\phi^§w,v\right\rangle =\left\langle w-w,\phi(v)\right\rangle=0$$ für alle $v\in V$, also insbesondere auch für $ \phi^*w-\phi^§w\in V$. Wegen der Definitheit des Skalarproduktes muss also die Gleichheit $\phi^*w=\phi^§w$ erfüllt sein für alle $w\in W$.
Satz. Ist $V$ endlich dimensional, so existiert eine Adjungierte.
Beweis. Mit Hilfe einer ON-Basis $e_1,\ldots,e_n$ von $V$ definieren wir $$\phi^*(w):=\sum_{k=1}^n\langle \phi(e_k),w\rangle e_k.$$ Wegen der Linearität des Skalarproduktes im zweiten Eintrag ist die so definierte Abbildung $\phi^*:W\to V$ linear. Für $v\in V$ benutzen wir die Darstellung $v=\sum_k\langle e_k,v\rangle e_k$. Damit gilt
\begin{eqnarray*}
\left\langle \phi^*(w),v\right\rangle&=&
\left\langle \sum_k\langle \phi(e_k),w\rangle e_k,\sum_l\langle e_l,v\rangle e_l\right\rangle\\
&=&
\sum_{k,l}\overline{\langle \phi(e_k),w\rangle}\langle e_l,v\rangle \langle e_k,e_l\rangle\\
&=&
\sum_{k}\overline{\langle \phi(e_k),w\rangle}\langle e_k,v\rangle\\
&=&
\sum_{k}\langle w, \phi(e_k)\rangle\langle e_k,v\rangle\\
&=&
\left\langle w, \sum_{k}\langle e_k,v\rangle \phi(e_k)\right\rangle\\
&=&
\left\langle w, \phi\left(\sum_{k}\langle e_k,v\rangle e_k\right)\right\rangle\\
&=&
\left\langle w,\phi(v)\right\rangle.
\end{eqnarray*}qed
Satz. Es sei $\phi:V\to W$ eine lineare Abbildung zwischen Hilberträumen.
Beweis. Die erste Aussage folgt aus der Gleichungskette $$\left\langle \phi(v),w\right\rangle =\overline{\left\langle w,\phi(v)\right\rangle} =\overline{\left\langle \phi^*(w),v\right\rangle} =\left\langle v,\phi^*(w)\right\rangle.$$
Es ist $w\in \ker \phi^*$ genau dann, wenn $\phi^*w=0$ gilt. Dies gilt genau dann, wenn für alle $v\in V$ gilt $0=\left\langle \phi^*(w),v\right\rangle =\left\langle w,\phi(v)\right\rangle$. Dies ist genau dann der Fall, wenn $w$ im orthogonalen Komplement von $\mathrm{im}\;\phi$ liegt. Dies ist der erste Teil der zweiten Aussage. Analog folgt der zweite Teil.
Die dritte Aussage folgt aus der zweiten, da $V^\perp=0$ und $W^\perp=0$ ist.
qed
Satz. Es sei $\phi:V\to W$ eine lineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen Hilberträumen, und $A$ die Matrix von $\phi$ bezüglich ON-Basen von $V$ und $W$. Dann ist die Matrix $A^*$ von $\phi^*$ bezüglich derselben ON-Basen gleich der konjugiert Transponierten $A^*=\overline{A}^t$: Der Eintrag in der $l$-ten Zeile und $k$-ten Spalte von $A^*$ ist das Konjugierte des Eintrags in der $k$-ten Zeile und $l$-ten Spalte von $A$.
Beweis. Ist $e_1,\ldots,e_n$ eine ON-Basis von $V$ und $f_1,\ldots,f_m$ eine ON-Basis von $W$, so erhält man den Eintrag $a_{kl}$ in der $k$-ten Zeile und $l$-ten Spalte von $A$ aus der Bestimmungsgleichung $$\phi(e_l)=\sum_k a_{kl}f_k=\sum_k\langle f_k,\phi(e_l)\rangle f_k.$$ Die adjungierte Abbildung wird wie oben beschrieben durch $$\phi^*(f_k)=\sum_l \langle \phi(e_l),f_k\rangle e_l.$$ Aus der Gleichung $\langle \phi(e_l),f_k\rangle=\overline{\langle f_k,\phi(e_l)\rangle}$ folgt die Behauptung.
qed