Lemma. Ist $\phi\in\text{Alt}^n(V)$ und bilden $(b_1,\ldots,b_n)$ eine geordnete Basis von $V$, so ist $\phi$ durch den Wert $\phi(b_1,\ldots,b_n)$ schon eindeutig bestimmt.
Beweis. Ist $v_j=\sum_{i=1}^nk_{ij}b_i$, so gilt zunächst
\[
\phi(v_1,\ldots,v_n)=\sum_{i_1=1}^n\ldots\sum_{i_n=1}^n
k_{i_1,1}\cdots k_{i_n,n}\phi(b_{i_1},\ldots,b_{i_n}).
\] In dieser riesigen Summe verschwinden alle Terme, in denen ein Basisvektor doppelt auftritt. Ein Summand kann nur dann ungleich Null sein, wenn die auftretenden Indizes $(i_1,\ldots,i_n)$ eine Permutation $\sigma\in S_n$ der Zahlen $(1,\ldots,n)$ bilden. Der Term $\phi(b_{\sigma(1)} \ldots,b_{\sigma(n)})$ unterscheidet sich nur durch ein Vorzeichen von dem Wert $\phi(b_1,\ldots,b_n)$. Dieses Vorzeichen ist $-1$, falls $\sigma$ als Komposition einer ungeraden Anzahl von Transpositionen dargestellt werden kann und ansonsten gleich $1$.
qed
Nach dem letzten Satz wird das im obigen Lemma benutzte Vorzeichen beschrieben durch $\mathrm{sign}(\sigma)$. Wir erhalten damit die Leibnizsche Formel
\[
\phi(v_1,\ldots,v_n)=\sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sign}(\sigma)
k_{\sigma(1),1}\cdots k_{\sigma(n),n}\phi(b_1,\ldots,b_n).
\] Diese soeben gefundene Formel wenden wir nun an, um umgekehrt alternierende Formen zu konstruieren.
Lemma. Bilden $(b_1,\ldots,b_n)$ eine geordnete Basis von $V$, so gibt es eine alternierende $n$-Form $\phi$ auf $V$ mit $\phi(b_1,\ldots,b_n)=1$.
Beweis. Wir definieren $\phi$ für Vektoren $v_j=\sum_{i=1}^nk_{ij}b_i$ als
\[
\phi(v_1,\ldots,v_n)=\sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sign}(\sigma)
k_{\sigma(1),1}\cdots k_{\sigma(n),n}.
\] Die so definierte Abbildung ist $n$-linear. Es reicht, dies für jeden Summanden nachzuweisen. Da ist es aber offensichtlich, zumal das Produkt $k_{\sigma(1),1}\cdots k_{\sigma(i),i}\cdots k_{\sigma(n),n}$ linear im $i$-ten Faktor $k_{\sigma(i),i}$ ist. Die Abbildung ist auch alternierend: Wir nehmen an, es gelte $v_l=v_m$ für ein Paar von Indizes $m\ne l$. Für die Koeffizienten bedeutet dies $k_{im}=k_{il}$ für alle $i\le n$. Wir zerlegen nun die symmetrische Gruppe $S_n$ in zwei disjunkte Teilmengen: Es sei \[A=\{\sigma\in S_n\;|\;\sigma(m)\lt\sigma(l)\}.\] Bezeichnet $\tau$ die Transposition $(m,l)$, so folgt \[A\tau:=\{\sigma\tau\:|\:\sigma\in A\}=S_n\setminus A,\] zumal für $\sigma\in A$ gilt $\sigma\tau(l)=\sigma(m)\lt \sigma(l)=\sigma\tau(m)$. Wir sortieren die Summe dieser Aufspaltung entsprechend
\[
\phi(v_1,\ldots,v_n)=\sum_{\sigma\in A}\left(
\mathrm{sign}(\sigma)k_{\sigma(1),1}\cdots k_{\sigma(n),n}+
\mathrm{sign}(\sigma\tau)k_{\sigma\tau(1),1}\cdots k_{\sigma\tau(n),n}\right).
\] Für jedes $\sigma\in A$ hebt sich der Summand $\mathrm{sign}(\sigma)k_{\sigma(1),1}\cdots k_{\sigma(n),n}$ gegen den Summanden $\mathrm{sign}(\sigma\tau)k_{\sigma\tau(1),1}\cdot k_{\sigma\tau(n),n}$ weg: Zum Einen sind die Vorzeichen verschieden
\[\mathrm{sign}(\sigma\tau)=\mathrm{sign}(\sigma)\mathrm{sign}(\tau)=-\mathrm{sign}(\sigma).\] Zum Anderen tauchen genau dieselben Faktoren in beiden Ausdrücken auf, nur in unterschiedlicher Reihenfolge. Dazu betrachten wir die jeweilige $i$-te Stelle. Die Indizes $\sigma(i)$ und $\sigma\tau(i)$ sind gleich, falls $i\notin\{l,m\}$, also auch die an der $i$-ten Stelle stehenden Faktoren. An der $m$-ten Stelle steht im ersten Summand der Faktor
$$k_{\sigma(m),m}=k_{\sigma\tau(l),m}=k_{\sigma\tau(l),l},$$ der im zweiten Summand an der $l$-ten Stelle steht.
Die Berechnung von $\phi(b_1,\ldots,b_n)$ können wir leicht explizit durchführen: Gilt $v_i=b_i$ für alle $i$, so sind die Koeffizienten $k_{ij}$ gleich $1$, falls $i=j$, und ansonsten verschwinden sie. In der Summe
\[
\phi(b_1,\ldots,b_n)=\sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sign}(\sigma)
k_{\sigma(1),1}\cdots k_{\sigma(n),n}.
\] verschwinden damit alle Summanden bis auf den zu $\sigma=\mathrm{id}\in S_n$. Dieser Summand ist aber offensichtlich gleich $1$.
qed
Fassen wir die vorangehenden beiden Lemmata zusammen, so erhalten wir den avisierten Satz.
Satz. Ist $V$ ein Vektorraum der Dimension $\dim V=n$, so ist $\dim Alt^n(V)=1$.