Alternierende Multilinearformen

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$.

Definition. Der Vektorraum $\text{Alt}^n(V)$ der alternierenden, $n$-linearen Formen auf $V$ besteht aus Abbildungen
\[\phi\colon V^n= \underbrace{V\times\ldots \times V}_{n-\text{mal}}\to K\] mit den Eigenschaften

1. $\phi$ ist $n$-linear, das heißt linear in jeder Variablen. Es gelten also für jedes $i\leq n$ die Linearitätsbedingungen
   $$
   \begin{aligned}
   \phi(\ldots,kv_i,\ldots)&=k\phi(\ldots,v_i,\ldots)\quad\text{ für } k\in K \\
   \phi(\ldots,v_i+v_i',\ldots)&=\phi(\ldots,v_i,\ldots)+\phi(\ldots, v_i',\ldots)
   \end{aligned}
   $$ In diesen Gleichungen werden nur die Einträge an der $i$-ten Stelle aufgeführt; an den punktierten Stellen stehen jeweils dieselben Vektoren.
2. $\phi$ ist alternierend: Es gilt $ \phi(v_1,\ldots,v_n)=0$, falls es $i\not= j$ gibt mit $v_i=v_j$.

Die Menge der alternierenden $n$-Formen Alt$^n(V)$ bildet einen Vektorraum, da $\phi+\phi'$ und $k \cdot \varphi$ auch alternierende Multilinearformen sind, falls $\phi$ und $\phi'$ es sind und $k\in K$ ist. Ein Homomorphismus
\[f\colon V\to W\] induziert einen Homomorphismus \[f^*\colon \text{Alt}^n(W)\to \text{Alt}^n(V)\] vermittels
$$
(f^*(\phi))(v_1,\ldots,v_n)=\phi(f(v_1),\ldots,f(v_n)).
$$
Es gilt $(id_V)^*=id_{Alt^n(V)}$ und $(f\circ g)^*=g^*\circ f^*$ für Homomorphismen $g\colon U\to V$. Die letztere Aussage folgt aus
\begin{align*}
((f\circ g)^*(\phi))(v_1,\ldots,v_n)&=\phi(f(g(v_1)),\ldots,f(g(v_n)))\\
&=(f^*(\phi))(g(v_1),\ldots,g(v_n))\\&=g^*(f^*(\phi))(v_1,\ldots,v_n).
\end{align*}

Lemma. Sei $\phi$ eine alternierende $n$-Form auf $V$.

1. Ist $i\ne j$ und $k\in K$, so gilt $\phi(\ldots,v_i,\ldots,v_j,\ldots)=
   \phi(\ldots,v_i+k v_j,\ldots,v_j,\ldots).$
2. Werden zwei Vektoren vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen.
3. Sind $v_1,\ldots v_n$ linear abhängig, so gilt $\phi(v_1,\ldots,v_n)= 0$.

Beweis.

1. Wir wenden auf die rechte Seite die Linearität in der $i$-ten Variablen an und benutzen dann, dass $\phi$ alternierend ist.
2. Der Übersichtlichkeit halber betrachten wir nur zwei Variable. Es gilt
   \begin{align*}0&=\phi(v_1+v_2,v_1+v_2)\\ &=\phi(v_1,v_1)+\phi(v_1,v_2)+\phi(v_2,v_1)+\phi(v_2,v_2)
   \\ &=\phi(v_1,v_2)+\phi(v_2,v_1)
   \end{align*}
3. Sei etwa $ v_i=\sum_{j\ne i} k_j v_j.$ Dann liefert uns die Multilinearität
   $$
   \phi(v_1,\ldots,v_n)=\phi(\ldots, \underbrace{\sum_{j\ne
   i}{k_j} v_j}_{i\text{-te Stelle}},\ldots)=
   \sum_{j\ne i}k_j\phi(\ldots,
   \underset{\overset\uparrow {i}}{v_j},\ldots,
   \underset{\overset\uparrow {j}}{v_j},\ldots)
   $$ Durch die untenstehenden Pfeile werden im letzten Term die jeweiligen Stellen spezifiziert. Jeder Summand auf der rechten Seite ist Null.

qed

Der folgende Satz wird eine Schlüsselstellung in der Konstruktion der Determinante darstellen.

Satz. Ist $V$ ein Vektorraum der Dimension $\dim V=n$, so ist $\dim Alt^n(V)=1$.

Um diesen zentralen Satz zu beweisen, müssen wir etwas weiter ausholen.