Punktspiegelungen

Ein wichtiger Spezialfall einer Drehung ist die Drehung um $180^{\circ}$, die auch den Namen Punktspieglung trägt. Ist $D$ eine Punktspieglung mit dem Zentrum $Z$, so gilt für einen beliebiegen Strahl $s$, der von $Z$ ausgeht \begin{equation}
D(s) = -s.
\end{equation} Insbesondere sind alle Geraden $g$ durch $Z$ bei einer Punktspieglung invariant, $
D(g) = g.$

Für eine Punktspieglung $D$ gilt offensichtlich: \begin{equation}
D^2 := D \circ D = \mathrm{id}.
\end{equation}

Proposition 2.4. Es sei $D$ eine Punktspieglung mit dem Zentrum $Z$. Dann gilt:

1. Jede bei $D$ invariante Gerade geht durch $Z$.
2. Wenn $g$ eine Gerade ist, so gilt $D(g)\parallel g$.

Beweis.

1. Es sei $h$ eine invariante Gerade. Wir wählen einen Punkt $X
   \in h$, so dass $X \neq Z$. Es sei $g = XZ$ die Verbindungsgerade. Da $g$ eine invariante Gerade ist, folgt
   \[
   D(X) \in g \cap h.
   \] Wäre $D(X) = X$, so hätte $D$ einen zweiten Fixpunkt, also $D
   = \mathrm{id}$. Das wäre ein Widerspruch, da $\mathrm{id}$ keine Punktspieglung ist. Also ist $D(X) \neq X$ und deshalb haben $g$ und $h$ zwei veschiedene Punkte $X$ und $D(X)$ gemeinsam. Aber dann gilt $g = h$.
2. Angenommen wir haben eine Gerade $g$, so dass sich $g$ und $D(g)$ in genau einem Punkt $X$ schneiden. Dann gilt $X \neq Z$. Ansonsten ginge $g$ durch $Z$ und wäre nach dem ersten Teil invariant, entgegen unserer Annahme. Folglich gilt $D(X) \neq X$. Da $D$ eine Punktspiegelung ist, liegen $X, D(X), Z$ auf einer Geraden. Also geht die Gerade $D(g) = XD(X)$ durch $Z$. Somit ist $D(g)$ eine invariante Gerade und wegen $D^2=\mathrm{id}$ gilt $D(g) = g$ im Widerspruch zur Annahme.

qed.