Ein Pushout in der Kategorie von Gruppen heißt amalgamiertes Produkt. Sei ein Diagramm \[A\xleftarrow{\alpha} C\xrightarrow{\beta} B\] in der Kategorie \(\mathcal{Groups}\) gegeben. Das Pushout \begin{matrix} C&\xrightarrow{\alpha}&A\\
{\scriptstyle{\beta}}\downarrow\phantom{\scriptstyle{\beta}}&&\phantom{\scriptstyle{\beta}}\downarrow{\scriptstyle{j_\alpha}}\\
B&\xrightarrow{j_\beta}&A\ast_CB\end{matrix} wird im Folgenden in zwei Schritten konstruiert. Zuerst nehmen wir \(C=1\) an. Das freie Produkt \(A\ast B\) ist \[G=A\ast B=\{(g_1,g_2,\ldots,g_n)\mid n\ge 0, g_k\in A\sqcup B\}/\sim.\] Elemente dieser Menge werden Wörter im Alphabet \(A\sqcup B\) genannt. Äquivalent sind folgende Wörter:
- \((g_1,\ldots, g_i,g_{i+1},\ldots,g_n)\sim (g_1,\ldots, g_ig_{i+1},\ldots,g_n)\), falls \(g_i\) und \(g_{i+1}\) in derselben Gruppe (\(A\) oder \(B\)) liegen. Nebeneinander stehende Buchstaben werden ausmultipliziert, falls sie in derselben Gruppe liegen.
- \((g_1,\ldots, g_{i-1}, e, g_{i+1},\ldots,g_n)\sim (g_1,\ldots, g_{i-1},g_{i+1},\ldots,g_n)\) Neutrale Elemente können weggelassen werden.
Man sieht unmittelbar, dass jedes Element in diesem freien Produkt sich eindeutig durch eine gekürztes Wort, in dem abwechselnd nicht-triviale Buchstaben aus beiden Gruppen nebeneinander stehen, repräsentieren lässt. Auf der Menge der Äquivalenzklassen von derartigen Wörtern definiert man Multiplikation durch Wortzusammensetzung \[[(g_1,\ldots,g_m)]\cdot [(h_1,\ldots,h_n)]:=[(g_1,\ldots,g_m,h_1,\ldots,h_n)]\] und Inversenbildung durch Invertieren der Buchstaben, rückwärts angeordnet \[[(g_1,\ldots, g_m)]^{-1} = [(g_m^{-1},\ldots,g_1^{-1})].\] Das leere Wort repräsentiert das neutrale Element in der durch diese Vorschriften definierten Gruppe. Einbuchstabige Wörter sind die Bilder der offensichtlichen Gruppenhomomorphismen \(j_\alpha,j_\beta\).
Falls \(C\) eine nicht-triviale Gruppe ist, sei \[U=\{[(\alpha(c),\beta(c)^{-1})]\mid c\in C\}\subset A\ast B,\] und \(N(U)\) bezeichne den Normalisator von \(U\) in \(A\ast B\), d.h. den Durchschnitt aller Normalteiler in \(A\ast B\), welche die Menge \(U\) enthalten. Das amalgamierte Produkt ist dann die Quotientengruppe \[A\ast_CB:=A\ast B/N(U).\] Die Abbildungen \(j_\alpha,j_\beta\) erhält man aus den Inklusionen \(A\hookrightarrow A\ast B\) und \(B\hookrightarrow A\ast B\) durch Quotientenbildung.
Zum Nachweis der universellen Eigenschaft startet man mit Gruppenhomomorphismen \(\phi_\alpha\colon A\to G\) und \( \phi_\beta\colon B\to G\) mit \(\phi_\alpha\circ\alpha=\phi_\beta\circ\beta\colon C\to G\) und definiert einen Gruppenhomomorphismus \(\tau\colon A\ast B\to G\) durch die Verschrift \[\tau\left([(g_1,\ldots,g_m)]\right)=\phi_{i(1)}(g_1)\cdot
\phi_{i(2)}(g_2)\cdot\ldots\cdot\phi_{i(m)}(g_m),\] mit \(i(k)\in \{\alpha,\beta\}\), je nachdem, aus welcher Gruppe \(A\) oder \(B\) der Buchstabe \(g_k\) stammt. Wegen \(\phi_\alpha\circ\alpha=\phi_\beta\circ\beta\) ist \(U\subset \ker(\tau)\). Da der Kern von \(\tau\) ein Normalteiler in \(A\ast B\) ist, faktorisiert der Gruppenhomomorphismus \(\tau\) eindeutig über den Quotienten \(A\ast_CB\).