8.0.1. Definition. Eine Teilmenge $X\subset\mathbb{R}^{N}$ ist eine glatte Untermannigfaltigkeit der Dimension $n$, falls es zu jedem Element $x\in X$ eine offene Umgebung $V\subset \mathbb{R}^{N}$ und einen $\mathcal{C}^{\infty}$-Diffeomorphismus $\phi:V\to W$ auf eine offene Teilmenge des $\mathbb{R}^{N}$ gibt mit $$\phi(X\cap V)=W\cap\left(\mathbb{R}^{n}\times\left\{ 0\right\} \right).$$ Der Tangentialraum an $X$ im Punkte $x$ ist der lineare Unterraum $$T_xX:=\partial \phi^{-1}_x\left(\mathbb{R}^{n}\times\left\{ 0\right\} \right)\subset \mathbb R^N=T_x\mathbb R^N.$$
Hier bezeichnet $\partial \phi_x\colon \mathbb R^N\to \mathbb R^N$ die Ableitung der differenzierbaren Abbildung $\phi$ im Punkte $x$.
8.0.2. Beispiel. Eine glatte Untermannigfaltigkeit von $\mathbb R^3$ der Dimension $1$ oder $2$ nennt man eine reguläre Kurve oder Fläche im Raum.
Ist $x\in X$ ein Punkt auf einer Untermannigfaltigkeit im $\mathbb R^N$, so liefert uns die euklidische Metrik auf $\mathbb R^N$ ein orthogonales Komplement $N_{x}X=\left(T_{x}X\right)^{\perp}$, den zu $X$ in $x$ normalen Untervektorraum. Als Folgerung des Satzes über implizite Funktionen aus der Analysis 2 erhalten wir:
8.0.3. Satz. Lokal kann jede Untermannigfaltigkeit des $\mathbb{R}^{N}$ als Graph einer Funktion vom Tangentialraum in den Normalraum beschrieben werden.
Genauer gibt es eine glatte Abbildung $g\colon U\to V$ zwischen offenen Teilmengen $U\subset T_xX$ und $V\subset N_xX$, so dass $X\cap \left(U\times V\right)$ als Graph $$\Gamma_g:= \left\{\left(u,g(u)\right)\mid u\in U\right\}\subset U\times V$$ beschrieben wird.
Beweis. Wir zerlegen den Aufpunkt $x=x_0+y_0$ in den tangentialen Bestandteil $x_0\in T_{x}X\subset\mathbb{R}^{N}$ und den normalen $y_0\in N_{x}X\subset\mathbb{R^{N}}$. Ist $\rho\colon \mathbb R^N\to \mathbb R^{N-m}$ eine lineare Abbildung mit Kern $\mathbb{R}^{n}\times\left\{ 0\right\}$ so ist $X$ lokal um $x$ das Nullstellengebilde von $f=\rho\circ \phi$. Nach dem Satz über implizite Funktionen gilbt es offene Umgebungen $U$ von $x_0$ in $T_{x}X$ und $V$ von $y_0$ in $N_{x}X$ und eine glatte Abbildung $g:U\to V$ mit $$X\cap\left(U\times V\right)=\Gamma_{g}\subset T_{x}X\,\times\,N_{x}X\cong\mathbb{R}^{N}.$$qed
Interessieren wir uns für lokale Eigenschaften von Untermannigfaltigkeiten im $\mathbb R^N$, so erlaubt uns dieser Satz, uns auf den Spezialfall von Graphen glatter Abbildungen einzuschränken.