7. Überlagerungen (alt)

7.0.1. Definition. Eine Überlagerung eines Raumes $B$ ist eine stetige Abbildung $p\colon X\to B$, für die gilt:

• Für jedes $b\in B$ ist die Faser $p^{-1}(b)$ diskret.
• Jedes $b\in B$ besitzt eine trivialisierende Umgebung $U$ und eine Trivialisierung, d.h. einen Homöomorphismus $h_U\colon p^{-1}(U)\to U\times p^{-1}(b)$, so dass das folgende Diagramm kommutativ ist: $$
  \begin{matrix}p^{-1}(U)&\xrightarrow{h_U}&U\times p^{-1}(b)\\
  p\searrow&&\swarrow pr_U\\&U&\end{matrix}$$

Der Raum $B$ wird Basis der Überlagerung genannt, die Teilmengen $h_U^{-1}\left(U\times \{x\}\right)\subset p^{-1}(U)$ für $x\in p^{-1}(b)$ Blätter der Überlagerung.

7.0.2. Beispiele.

• Ist $F$ ein diskreter Raum, so ist die Projektion $\mathrm{pr}_B\colon B\times F\to B$ auf den ersten Faktor eine (triviale) Überlagerung.
• Die bereits öfter angebrachte Exponentialabbildung $$\mathbb R\to S^1, \quad t\mapsto \exp(2\pi it)$$ ist eine nicht-triviale Überlagerung mit Faser $\mathbb Z$. Jeder Kreisbogen der Länge kleiner als $2\pi$ ist eine trivialisierende offene Menge.
• Für jedes $k\not=0$ ist die Abbildung $$S^1\to S^1,\quad z\mapsto z^k$$ eine Überlagerung mit $k$-elementiger Faser. Jeder Kreisbogen der Länge kleiner als $2\pi$ in der Basis bildet eine trivialisierende offene Menge.
• Die Identifizierungsabbildung $S^n\to \mathbb RP^n$ ist eine zweiblättrige Überlagerung. Ist nämlich $V$ eine offene Teilmenge von $S^n$ ohne Antipodenpunkte, so gilt für $U=p(V)$ $$p^{-1}U=V+(-V)\cong U\times \mathbb Z/2\mathbb Z.$$

7.0.3. Konstruktionen von Überlagerungen. Es sei $p\colon X\to B$ eine Überlagerung.

• Ist $f\colon B'\to B$ stetig, so ist der Basiswechsel $p'\colon X\times_BB'\to B'$ eine Überlagerung.
• Ist $g\colon B\to C$ eine Überlagerung mit endlichen Fasern, so ist die Komposition $gp\colon X\to C$ eine Überlagerung, der Transfer von $p$ entlang $g$.
• Ist $p''\colon X''\to B''$ eine Überlagerung, so sind auch direkte Summe und direktes Produkt Überlagerungen $$p\sqcup p''\colon X\sqcup X''\to B\sqcup B'',\quad\text{und}\quad
  p\times p''\colon X\times X''\to B\times B'' .$$
• Ist $q\colon Y\to B$ eine weitere Überlagerung zur Basis $B$, so erhält man die interne Summe der beiden Überlagerungen $p$ und $q$ durch Transfer der direkten Summe $$\nabla\circ (p\sqcup q)\colon X\sqcup Y\to B$$ entlang der Kodiagonalen $\nabla=(\mathrm{id}\sqcup\mathrm{id})\colon B\sqcup B\to B$. Das interne Produkt der beiden Überlagerungen entsteht durch Basiswechsel des direkten Produktes $p\times q\colon X\times Y\to B\times B$ entlang der Diagonalen $\Delta=(\mathrm{id}\times\mathrm{id})\colon B\to B\times B$.

Beweis. Zu zeigen ist lediglich die Überlagerungseigenschaft beim Transfer: Ist $c\in C$ und $V$ und eine Trivialisierung $h_V\colon g^{-1}(V)\cong V\times g^{-1}(c)$. Zu jedem Punkt $b\in g^{-1}(c)$ existiert eine Umgebung $U_b$, so dass $p$ auf $U_b$ trivial ist, und außerdem $h_V(U_b)\subset V\times \{b\}$ gilt. Dann ist $$V'=\bigcap_{b\in g^{-1}(c)}g\left(U_b\right)$$ eine offene Umgebung von $c$, über der $gp$ trivial ist.
qed

7.0.4. Definition. Die Objekte der Kategorie $\mathcal {COV}(B)$ der Überlagerungen von $B$ sind Überlagerungen $p\colon X\to B$ von $B$. Die Morphismen von $p\colon X\to B$ nach $q\colon Y\to B$ sind stetige Abbildungen $f\colon X\to Y$ über $B$, d.h. solche, für die gilt $q\circ f=p$. Die Automorphismengruppe eines Objekts $p\colon X\to B$ wird die Decktransformationsgruppe von $p$ genannt.