Das einfachste Beispiel einer Initialtopologie benutzt nur eine Abbildung. Dazu sein $X$ eine Menge, $Y$ ein topologischer Raum und $$f\colon X\to Y$$ eine Abbildung.
2.2.1. Definition. Die von $f$ induzierte Topologie auf $X$ ist $$\mathcal T_X:=\{f^{-1}(V)\mid V\subset Y \text{ offen }\}.$$ Ist $f$ die Inklusionsabbildung einer Teilmenge von $Y$, so nennt man $\mathcal T_X$ die Unterraum- oder Teilraumtopologie.
Im Falle einer Teilraumtopologie kann die Topologie auch ohne die Abbildung $f$ beschrieben werden: $$\mathcal T_X=\left\{V\cap X\,\middle|\, V\subset Y \text{ offen }\right\}.$$
2.2.2. Definition. Eine stetige Abbildung $f\colon X\to Y$ zwischen topologischen Räumen nennt man eine Einbettung, falls $f$ injektiv ist und die gegebene Topologie auf $X$ mit der durch die Abbildung $f$ induzierten übereinstimmt.
2.2.3. Beispiele. Für die Topologie interessante Studienobjekte sind:
- Ein Knoten ist ein in $\mathbb R^3$ eingebetteter Kreis $S^1$. In der Knotentheorie untersucht man zum Beispiel, wann zwei solche Knoten durch stetige Bewegungen im Raum ineinander übergeführt werden können.
- Konfigurationen von vielen Punkten in einem gegebenem Raum. Wichtige algebraische Invarianten lassen sich mit Hilfe derartiger Konfigurationsräume geometrisch beschreiben.
- Zu einem gegebenen (topologischen) Vektorraum betrachtet man den Raum aller eingebetteten Untervektorräume. Viele Resultate über die Anzahl von Schnittpunkten von Geraden, Ellipsen und allgemeinen Nullstellen polynomialer Gleichungen in mehreren Variablen lassen sich aus dem Studium der Topologie solcher Räume ableiten.
Wir halten noch fest, was die universelle Eigenschaft der Initialtopologie in dem Fall der induzierten Topologie aussagt:
2.2.4. Universelle Eigenschaft der induzierten Topologie. Es sei $Y$ ein topologischer Raum und $f\colon X\to Y$ eine Abbildung. Die von $f$ induzierte Topologie ist die eindeutig bestimmte Topologie auf $X$ so dass gilt