Wir beginnen mit dem Integral für einfache Funktionen.
2.2.1. Definition. Für $f\in \mathcal{EF}(X,\mu,E)$ heißt $$\int_Xf\,d\mu:=\int f\,d\mu:=\sum_{e\in E\setminus\{0\}}\mu\left(f^{-1}(e)\right)e$$ Integral von $f$ über $X$ bezüglich des Maßes $\mu$. Ist $A\subset X$ eine $\mu$-messbare Menge, so heißt $$\int_A f\,d\mu:=\int_X\chi_Af\,d\mu$$ Integral von $f$ über $A$ bezüglich des Maßes $\mu$.
Da es sich um einfache Funktionen handelt, treten nur endliche Summen auf. Vermittels der Konvention $\infty\cdot 0_E:=0_E$ können wir in der Definition die Summe auch über alle $e\in E$ laufen lassen.
2.2.2. Proposition. Die Abbildung $$\int_X\colon \mathcal {EF}(X,\mu,E)\to E$$ ist linear.
Beweis. Dass das Integral mit der Multiplikation mit Skalaren vertauscht, ist klar. Sind $f,g\in \mathcal{EF}(X,\mu,E)$, so gilt \begin{align}\tag{1}\int_X(f+g)\,d\mu&=\sum_{e\in E\setminus\{0\}}\mu\left((f+g)^{-1}(e)\right)e\\
\tag{2}&=\sum_{e\in E\setminus\{0\}}\mu\left(\sqcup_{e'\in E}\left(f^{-1}(e')\cap g^{-1}(e-e')\right)\right)e\\
\tag{3}&=\sum_{e\in E\setminus\{0\}}\left(\sum_{e'\in E}\mu\left(f^{-1}(e')\cap g^{-1}(e-e')\right)\right)e\\
\tag{4}&=\sum_{(e',e'')\in E^2\setminus\{(0,0)\}}\mu\left(f^{-1}(e')\cap g^{-1}(e'')\right)(e'+e'')\\
\tag{5}&=\left(\sum_{(e',e'')\in E^2\setminus\{(0,0)\}}\mu\left(f^{-1}(e')\cap g^{-1}(e'')\right)e'\right)+\left(\sum_{(e',e'')\in E^2\setminus\{(0,0)\}}\mu\left(f^{-1}(e')\cap g^{-1}(e'')\right)e''\right)\\
\tag{6}&=\left(\sum_{e'\in E\setminus\{0\}}\mu\left(f^{-1}(e')\cap \left(\sqcup_{e''\in E}g^{-1}(e'')\right)\right)e'\right)+
\left(\sum_{e''\in E\setminus\{0\}}\mu\left(\left(\sqcup_{e'\in E}f^{-1}(e')\right)\cap g^{-1}(e'')\right)e''\right)\\
\tag{7}&=\left(\sum_{e'\in E\setminus\{0\}}\mu\left(f^{-1}(e')\right)e'\right)+
\left(\sum_{e''\in E\setminus\{0\}}\mu\left( g^{-1}(e'')\right)e''\right) \\
&=\int_Xf\,d\mu+\int_Xg\,d\mu
\end{align} qed
Ich habe diesen Beweis absichtlich etwas ausführlich gestaltet. Eine Darstellung mit (2), (4) und (6) als Zwischenschritte hätte vielleicht ausgereicht, das Umsortierungsverfahren prägnant zu beschreiben. Auf folgende Punkte wollte ich aufmerksam machen:
- Alle auftauchenden Summen sind endlich, auch wenn es die Summationsindizes nicht sind.
- An keiner Stelle wird die oben erwähnte Konvention $\infty\cdot 0_E=0_E$ gebraucht. Sie wird einzig eingeführt, um gewisse Formeln kurz und dennoch korrekt darstellen zu können.
- Im Übergang von (2) nach (3) und wieder von (5) auf (6) wird die Additivität des Maßes benutzt.
- Es wird mehrmals heftig umsortiert. Da es jeweils nur endlich viele Summanden sind, ist das unerheblich. Erinnern Sie sich noch an die Umordnungssätze für Reihen aus dem ersten Semester? Sobald wir auf die Endlichkeit der Summanden verzichten, kommen die Erkenntnisse aus der damaligen Vorlesung wieder zum Tragen. Tatsächlich haben wir diese Umordnungssätze bei den Überlegungen zum Maß implizit schon immer benutzt. Da Maße keine negativen Werte annehmen, sind die in der Maßtheorie auftauchenden Reihen genau dann konvergent, wenn sie absolut konvergent sind. Folglich lassen sie sich beliebig umordnen.
2.2.3. Definition. Für $f\in \mathcal{EF}(X,\mu,E)$ definieren wir $$\|f\|_1:=\int_X |f |\,d\mu.$$ Die Betragszeichen unter dem Integral bezeichnen die Norm auf $E$.
Die Abbildung $\|\,.\,\|_1\colon \mathcal{EF}(X,\mu,E)\to \mathbb R$ ist im Allgemeinen keine Norm, sondern eine Halbnorm, man sagt auch Seminorm. Sie erfüllt für $f,g\in \mathcal {EF}(X,\mu,E)$ die Ungleichungen $$0\le \left|\int_Xf\,d\mu\right|
=\left|\sum_{e\in E\setminus\{0\}}\mu\left(f^{-1}(e)\right)e\right|
\le \sum_{e\in E\setminus\{0\}}\mu\left(f^{-1}(e)\right)|e|
=\int_X|f|\,d\mu=\left\|f\right\|_1$$ und die Dreiecksungleichung $$\left\|f+g\right\|_1\le \left\|f\right\|_1+\left\|g\right\|_1.$$ Der Beweis der Dreiecksungleichung benutzt die im Beweis von 2.2.2. beschriebene Gleichungskette, mit $|e|$ anstatt $e$. Einzig im Übergang von (4) zu (5) erzwingt die Abschätzung $$|e'+e''|\le |e'|+|e''|$$ eine Ungleichung. Die Abbildung $\|\,.\,\|_1$ ist im Allgemeinen nicht definit. Ist nämlich $A\subset X$ eine nichtleere $\mu$-Nullmenge, so ist $\|\chi_A\cdot e\|_1=0$ für jedes $e\in E$.
2.2.4. Definition. Es sei $V$ ein $\mathbb K$-Vektorraum. Eine Abbildung $p\colon V\to \mathbb R$ eines heißt Halbnorm, falls sie sich folgender Eigenschaften erfreut:
2.2.5. Eigenschaften von Halbnormen. Es sei $V$ ein $\mathbb K$-Vektorraum und $p\colon V\to \mathbb R$ eine Halbnorm. Dann gilt:
Beweis.
- $p(0)=p(0\cdot 0)=0\cdot p(0)=0$.
- Sei $v\in V$. Dann gilt $0=p(0)\le p(v)+p(-v)=\left(1+|-1|\right)p(v)=2p(v)$.
- Sind $n,n'\in N$ und $\lambda\in \mathbb K$, so gilt $0\le p(n+n')\le p(n)+p(n')=0$ und $p(\lambda n)=|\lambda|\cdot p(n)=0$. Also gilt $n+n'\in N$ und $\lambda n\in N$.
- Gilt $v\in V$ und $n\in N$, so ist $p(v+n)\le p(v)+p(n)=p(v).$ Andererseits gilt auch $p(v)\le p(v+n)+p(-n)=p(v+n)$. Also nimmt die Funktion $p$ auf der Restklasse $v+N$ den konstanten Wert $p(v)$ an. Die Abbildung $\overline{p}$ ist folglich wohldefiniert. Die Eigenschaften einer Norm folgen aus der Definitheit und den Halbnorm-Eigenschaften von $p$.
qed
2.2.6. Definition. Eine Funktion $f\colon X\to E$ heißt $\mu$-integrierbar, wenn es eine Folge $(f_n)_{n\in \mathbb N}$ von $\mu$-einfachen Funktionen $f_n\in \mathcal {EF}(X,\mu,E)$ gibt,
Die Menge der $\mu$-integrierbaren Funktionen wird mit $\mathcal L_1(X,\mu,E)$ bezeichnet.
Es bezeichne $$\mathcal N:=\left\{f\in \mathcal L_0(X,\mu,E)\mid f=0 \,\,\mu\text{-f.ü.}\right\}\subset \mathcal L_1(X,\mu,E)$$ den Untervektorraum der $\mu$-messbaren, fast überall verschwindenden Funktionen.
2.2.7. Definition. Die Quotienten-Vektorräume $$L_p(X,\mu,E):=\mathcal L_p(X,\mu,E)/\mathcal N$$ für $p\in {0,1}$ werden als Lebesgue-Räume bezeichnet. Den von den einfachen Funktionen erzeugten Untervektorraum von $L_1(X,\mu,E)$ bezeichnen wir mit $$EF(X,\mu,E):=\mathcal {EF}(X,\mu,E)/\left(\mathcal N\cap \mathcal {EF}(X,\mu,E)\right).$$
Elemente $f\in L_0(X,\mu,E)$ sind keine Funktionen, sondern nur Äquivalenzklassen von Funktionen. Folglich ist im Allgemeinen für $x\in X$ kein Funktionswert $f(x)$ erklärt oder erklärbar. Dies gilt ebenso für die Äquivalenzklassen einfacher Funktionen.
2.2.8. Satz.
- Die Seminorm $\|\,.\,\|_1$ auf $\mathcal {EF}(X,\mu,E)$ definiert eine Norm $\|\,.\,\|_1\colon EF(X,\mu,E)\to \mathbb R.$
- Der Raum $L_1(X,\mu,E)$ ist die Vervollständigung von $EF(X,\mu,E)$ bezüglich dieser Norm. Insbesondere definiert $\|\,.\,\|_1$ eine Norm auf $L_1(X,\mu,E)$.
- Das Integral $\int_x\,d\mu\colon \mathcal {EF}(X,\mu,E)\to E$ induziert eine lineare Abbildung $\int_X\,d\mu\colon EF(X,\mu,E)\to E$, die stetig ist bezüglich der Normtopologie.
- Das Integral setzt sich eindeutig fort zu einer stetigen, linearen Abbildung $$\int_X\,d\mu\colon L_1(X,\mu,E)\to E.$$ Diese Abbildung wird das Bochner-Lebesguesche Integral genannt.
Beweis. Der einzig schwierige Punkt ist ii. Aber der Reihe nach.
- Ist $f\in\mathcal {EF}(X,\mu,E)$, so gilt $\|\,f\,\|_1=0$ genau dann, wenn $\mu\left(f^{-1}(E\setminus\{0\}\right)=0$. Das ist genau dann der Fall, wenn $f\in \left(\mathcal N\cap \mathcal {EF}(X,\mu,E)\right).$ Der Rest der Aussage folgt aus 2.2.5.
- Nach Konstruktion ist die Vervollständigung eines normierten Vektorraums der Raum der Cauchy-Folgen modulo der Null-Folgen. Wir müssen also zeigen, dass wir jeder Cauchy-Folge in $EF(X,\mu,E)$ eindeutig einen Grenzwert in $L_1(X,\mu,E)$ zuordnen können und dass die Differenz je zweier gegen dasselbe Element in $L_1(X,\mu,E)$ konvergierenden Folgen eine Nullfolge in $EF(X,\mu,E)$ ist. Dies folgt aus den Aussagen der beiden Lemmata 2.2.9. und 2.2.10. Die Aussage über die Fortsetzung der Norm folgt aus den Eigenschaften der Vervollständigung (Korollar 5.5.2 im Analysis-Skript).
- Die Stetigkeit des Integrals bezüglich der Normtopologie folgt aus der bereits oben bewiesenen Abschätzung $\left|\int_Xf\,d\mu\right|\le \|f\|_1.$
- Folgt aus den Eigenschaften der Vervollständigung eines normierten Vektorraums.
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2.2.9. Lemma. Es sei $(f_j)$ eine Cauchy-Folge bezüglich $\|\,.\,\|_1$ in $\mathcal {EF}(X,\mu,E)$.
2.2.10. Lemma. Sind $(f_j)$ und $(g_j)$ Cauchy-Folgen bezüglich $\|\,.\,\|_1$ in $\mathcal {EF}(X,\mu,E)$, welche punktweise $\mu$-f.ü. gegen dieselbe Funktion konvergieren. Dann gilt $\lim_j\|f_j-g_j\|_1=0$
Beweis von 2.2.9. Wir wählen uns eine monoton steigende Folge $(j_k)_{k\in \mathbb N}$ von Indizes mit $\|f_\ell-f_m\|_1\lt 2^{-2k}$ für alle $\ell, m\ge j_k$. Die Menge $$B_k:=\left\{x\in X\mid |f_{j_{k+1}}(x)-f_{j_k}(x)|\ge 2^{-k}\right\}$$ gehört zu $\mathfrak A$ und es gilt $\mu(B_k)\lt \infty$, da jedes $f_j$ eine einfache Funktion ist. Es folgt $$2^{-k}\mu(B_k)=2^{-k}\int_X\chi_{B_k}\,d\mu
\le \int_X\left|f_{j_{k+1}}-f_{j_k}\right|\,d\mu =\|f_{j_{k+1}}-f_{j_k}\|_1\lt 2^{-2k}.$$ Hieraus folgt $\mu(B_k)\lt 2^{-k}$.
Die Menge $A_k:=\cup_{n=k}^\infty B_n$ erfüllt $\mu(A_k)\lt 2^{-k+1}$. Folglich ist $A:=\cap_{k=1}^\infty A_k$ eine Nullmenge.
Ist $x\in \left(X\setminus A_k\right)=\cap_{n=k}^\infty\left(X\setminus B_n\right)$, so gilt $$|f_{j_{k+1}}(x)-f_{j_k}(x) |\lt 2^{-k}.$$ Nach dem Majorantenkriterium konvergiert die Reihe $$f_{j_1}+\sum_{\ell=1}^\infty( f_{j_{\ell+1}}-f_{j_\ell}),$$ d.h. die Folge $(f_{j_\ell})_{\ell\in \mathbb N}$, auf $\left(X\setminus A_k\right) $ gleichmäßig in $E$. Wir setzen $$f(x):=\begin{cases}
\lim_k\,f_{j_k}(x),&x\in \left(X\setminus A\right),\\ 0,&x\in A.\end{cases}$$ Dann konvergiert die Folge $(f_{j_k})$ für $k\to\infty$ $\mu$-f.ü. gegen $f$. Ferner gibt es zu einem gegebenen $\varepsilon\gt 0$ ein $k$ mit $\mu(A_k)\le 2^{-k+1}\lt\varepsilon$, so dass die obige Teilfolge $(f_{j_\ell})_{\ell\in \mathbb N}$ auf $\left(X\setminus A_k\right)$ für $\ell\to\infty $ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.
Sind $(f_{j_k})$ und $(f_{\ell_k})$ Teilfolgen der $\|\,.\,\|_1$-Cauchy-Folge $(f_j)$, welche punktweise $\mu$-f.ü. gegen $f$ und $g$ konvergieren, so gilt wegen der Lipschitz-Stetigkeit von $\int_X\,d\mu$ $$ \int_X|f-g|\,d\mu = \lim_k \int_X|f_{j_k}-f_{\ell_k}|\,d\mu =\lim_k\|f_{j_k}-f_{\ell_k}\|_1=0.$$ Die Funktionen $f$ und $g$ sind als $\mu$-f.ü. punktweise Grenzwerte einfacher Funktionen messbar. Wäre für ein $\alpha\gt 0$ das Maß $\mu\left(\{x\in X\mid |f(x)-g(x)|\ge \alpha\}\right)=\beta\gt 0$, so wäre $\int_X|f-g|\,d\mu \ge \alpha\beta\gt 0$.
qed
Beweis von 2.2.10. Die Folge $(h_j):=(f_j-g_j)$ ist eine Cauchy-Folge bezüglich $\|\,.\,\|_1$ in $\mathcal {EF}(X,\mu,E).$ Folglich gibt es zu gegebenem $\varepsilon \gt 0$ ein $N\in \mathbb N$ mit $$\|h_j-h_k\|_1\lt \frac{\varepsilon}5 \quad\text{ für }\quad j,k\ge N.$$ Es sei $$A:=h_N^{-1}\left(E\setminus\{0\}\right)\in \mathfrak A.$$ Da $h_N$ einfach ist, gilt $\mu(A)\lt\infty$. Nach Voraussetzung konvergiert die Folge $(h_j)$ $\mu$-f.ü. gegen Null. Gemäß 2.2.9 gibt es folglich ein $B\in \mathfrak A$ mit $$\mu(B)\lt \frac{\varepsilon}{5\left(1+\|h_N\|_\infty\right)}$$ und eine Teilfolge $\left(h_{j_k}\right)_{k\in \mathbb N}$, die auf $X\setminus B$ gleichmäßig gegen $0$ konvergiert. Insbesondere gibt es ein $K\ge N$ mit $$\left|h_{K}(x)\right|\lt \frac{\varepsilon}{5\left(1+\mu\left(A\setminus B\right)\right)}\quad\text{ für }x\in A\setminus B.$$ Ist also $j\ge N$, so folgt \begin{align}\|h_j\|_1&\le
\int_{X\setminus A}|h_j|\,d\mu+ \int_{A\setminus B}|h_j|\,d\mu+ \int_{B}|h_j|\,d\mu\\
&\le \int_{X\setminus A}|h_j-h_N|\,d\mu+ \int_{A\setminus B}|h_j-h_{K}|\,d\mu+ \int_{B}|h_j-h_N|\,d\mu + \int_{A\setminus B}|h_{K}|\,d\mu+ \int_{B}|h_N|\,d\mu\\
&\le \|h_j-h_N\|_1+ \|h_j-h_{K}\|_1+ \|h_j-h_N\|_1+ \mu\left(A\setminus B\right)\cdot\max_{x\in A\setminus B}\left|h_{K}(x)\right| +\mu(B)\cdot\|h_N\|_{\infty}\\
&\lt \frac{\varepsilon}5+ \frac{\varepsilon}5+ \frac{\varepsilon}5+ \frac{\varepsilon}5+ \frac{\varepsilon}5=\varepsilon.\end{align} qed