Den Ausgangspunkt der zu entwickelnden Integrationstheorie bilden die einfachen Funktionen, das heißt solche mit nur endlich vielen Funktionswerten. Auf diesen lässt sich mit Hilfe eines Maßes leicht ein Integral erklären. Die Integrationstheorie untersucht nun, inwieweit sich ein so definiertes Integral durch Grenzwertbildung auf geeignete Klassen von Funktionen fortsetzen lässt. Die zur Kontrolle der Konvergenz natürlicherweise zur Verfügung stehenden Instrumente sind Semi-Normen. Dadurch werden die Grenzwertbetrachtungen in mancher Hinsicht subtil.
In diesem Kapitel ist $(X,\mathfrak A,\mu)$ ein vollständiger, $\sigma$-endlicher Maßraum und $(E,|\,.\,|)$ ein Banachraum.
Diese Voraussetzungen umfassen eine $\sigma$-Algebra $\mathfrak A$ auf der Menge $X$, und ein Maß $\mu\colon \mathfrak A\to [0,\infty]$. Die $\sigma$-Algebra ist vollständig im folgenden Sinne: Ist $N\in \mathfrak A$ eine Nullmenge, so ist auch jede Teilmenge von $N$ in $\mathfrak A$. Die Bedingung der $\sigma$-Endlichkeit besagt, dass es eine abzählbare Familie $(A_j)_{j\in J}$ von Elementen in $\mathfrak A$ gibt mit $\mu(A_j)\lt \infty$ und $\cup_{j\in J}A_j=X$.