Definition Es seien $E_1, \ldots, E_n$ und $F$ Banachräume über $\mathbb K$. Eine Abbildung $\phi\colon E_1\times\ldots\times E_n\to F$ heißt $n$-linear, oder allgemeiner multilinear, falls $\phi$ in jeder Variablen linear ist. Das heißt, dass für jedes $j\in \{1,\ldots, n\}$ und jede Wahl von $x_k\in E_k$ mit $j\not=k$ die Abbildung \begin{aligned}\phi(x_1,\ldots,x_{j-1},\,.\,,x_{j+1},\ldots, x_n)\colon D_j&\to F\\
y&\mapsto \phi(x_1,\ldots,x_{j-1},y,x_{j+1},\ldots, x_n)\end{aligned} linear ist.
Die Stetigkeit solcher multilinearer Abbildungen lässt sich analog zum Fall linearer Abbildungen charakterisieren.
6.4.1. Proposition. Es sei $\phi:\colon E_1\times\ldots\times E_n\to F$ eine $n$-lineare Abbildung. Äquivalent sind:
- $\phi$ ist im Punkte $0$ stetig.
- $\phi$ bildet beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen ab.
- Es existiert ein $\alpha\gt 0$, so dass für alle $x_k\in E_k$ gilt $$\|\phi(x_1,\ldots,x_n)\| \le \alpha \prod_{k=1}^n\|x_k\|.$$
- $\phi$ ist stetig.
Beweis.
- $\implies$ ii. Wegen der Stetigkeit im Punkte $0$ von $\phi$ existiert für $\varepsilon =1$ ein $\delta\gt 0$ mit $$\|\phi(y_1,\ldots,y_n)\|\lt 1$$ für alle $(y_1,\ldots,y_n)$ mit $\max_{k\le n}\|y_k\|\lt \delta$. Sei nun $B\subset \prod E_k$ eine beschränkte Menge. Es gebe also ein $\beta\gt 0$, so dass für alle $(x_1,\ldots,x_n)\in B$ gilt $\max_{k\le n} \|x_k\|\lt \beta$. Setzen wir $y_k:=\frac\delta\beta x_k$, so liefert die Abschätzung $\max_{k\le n}\|y_k\|\lt\delta$ und die Multilinearität von $\phi$ die postulierte obere Schranke $$\|\phi(x_1,\ldots,x_n)\|=\left(\frac\beta\delta\right)^n \|\phi(y_1,\ldots,y_n)\|\le \left(\frac\beta\delta\right)^n\cdot 1.$$
- $\implies$ iii. Nach Annahme ist $\phi$ auf $B=\{(x_1,\ldots,x_n)\mid \max_{k\le n}\|x_k\|\le 1\}$ durch ein $\alpha\gt 0$ beschränkt. Ist nun $y_k\in E_k\setminus \{0\}$, so ist $$\left(\frac{y_1}{\|y_1\|},\ldots,\frac{y_n}{\|y_n\|}\right)\in B$$ und folglich gilt $$\|\phi(y_1,\ldots,y_n)\|=\left\|\left(\prod_{k=1}^n\|y_k\|\right)\phi \left(\frac{y_1}{\|y_1\|},\ldots,\frac{y_n}{\|y_n\|}\right)\right\|\le \alpha \prod_{k=1}^n\|y_k\|.$$
- $\implies$ iv. Zu vorgegebenen $x=(x_1,\ldots,x_n)\in \prod_{k=1}^n E_k $ und $\varepsilon\gt 0$ wählen wir $$\delta:=\frac{\varepsilon}{n\cdot \alpha\cdot \prod_{k=1}^n\left(\|x_k\|+1\right)}.$$ Sind $y_k\in E_k, k\le n,$ mit $\|y_k-x_k\|\lt \min(\delta,1)$, so liefert die Multilinearität \begin{aligned}
\|\phi(y_1,\ldots,y_n)-\phi(x_1,\ldots,x_n)\|&=
\left\|\sum_{k=1}^n\big(\phi (y_1,\ldots,y_k,x_{k+1},\ldots,x_n)-\phi (y_1,\ldots,y_{k-1},x_{k},\ldots,x_n)\big)\right\| \\
&\le \sum_{k=1}^n\left\|\phi (y_1,\ldots,y_{k-1},y_k-x_k,x_{k+1},\ldots,x_n)\right\| \\
&\le \sum_{k=1}^n \alpha \left(\prod_{i=1}^{k-1}\|y_i\|\right) \|y_k-x_k\| \left(\prod_{j=k+1}^{n}\|x_i\|\right)\\
&\le \sum_{k=1}^n \alpha \left(\prod_{i=1}^{k-1}\|x_i\|+1\right) \delta \left(\prod_{j=k+1}^{n}\|x_i\|\right)\\
&\lt \varepsilon.
\end{aligned}
qed
Definition. Für Banachräume $E_1,\ldots,E_n$ und $F$ bezeichne $\mathcal L(E_1,\ldots,E_n;F)$ den Raum der stetigen $n$-linearen Abbildungen von $\prod_{k=1}^n E_k$ nach $F$.
Bemerkungen.
- Der Raum $\mathcal L(E_1,\ldots,E_n;F)$ ist in offensichtlicher Weise ein Vektorraum über dem Grundkörper $\mathbb K$. Die Vorschrift $$\|\phi\|_{op}:=\inf\left\{\alpha\gt 0 \quad\big|\quad \|\phi(x_1,\ldots,x_n)\|\le \alpha \prod_{k=1}^n\|x_k\|\right\}$$ beschreibt eine Norm, bezüglich derer $\mathcal L(E_1,\ldots,E_n;F)$ zu einem Banachraum wird.
- Sind die Vektorräume $E_k$ allesamt endlich dimensional, so ist jede $n$-lineare Abbildung stetig.
6.4.2. Proposition. Die Räume $\mathcal L(E_1,\ldots,E_n;F)$ und $\mathcal L(E_1,\mathcal L(E_2,\ldots, \mathcal L(E_n,F)\cdots))$ sind isometrisch isomorph.
Beweis. Induktiv reicht es, eine isometrische Isomorphie zwischen $\mathcal L(E_1,\ldots,E_n;F)$ und $\mathcal L(E_1,\ldots,E_{n-1};\mathcal L(E_n,F))$ anzugeben. Für $\phi\in \mathcal L(E_1,\ldots,E_n;F)$ setzen wir $$\Psi_\phi(x_1,\ldots,x_{n-1})x_n:=\phi(x_1,\ldots,x_n).$$ Für jedes Tupel $(x_1,\ldots,x_{n-1})$ erhalten wir so eine lineare Abbildung $\Psi_\phi(x_1,\ldots,x_{n-1})\colon E_n\to F$ mit Operatornorm $\|\Psi_\phi(x_1,\ldots,x_{n-1})\|\le \|\phi\|\cdot\prod_{k=1}^{n-1}\|x_k\|$. Also gehört $\Psi_\phi(x_1,\ldots,x_{n-1})$ zu $\mathcal L(E_n,F)$. Weiterhin ist die Zuordnung $$(x_1,\ldots,x_{n-1})\mapsto \Psi_\phi(x_1,\ldots,x_{n-1})\in \mathcal L(E_n,F)$$ $(n-1)$-linear und es gilt $\|\Psi_\phi\|_{op}\le \|\phi\|_{op}$.
Zur Konstruktion der inversen Abbildung von $\mathcal L(E_1,\ldots,E_{n-1};\mathcal L(E_n,F))$ nach $\mathcal L(E_1,\ldots,E_n;F)$ setzen wir für $\Psi\in \mathcal L(E_1,\ldots,E_{n-1};\mathcal L(E_n,F))$ $$\phi_\Psi(x_1,\ldots,x_n):=\Psi(x_1,\ldots,x_{n-1})x_n.$$ Die derart definierte Abbildung $\phi_\Psi$ ist offenbar $n$-linear. Wegen $$\|\phi_\Psi(x_1,\ldots,x_n)\|\le \left(\|\Psi\|_{op}\prod_{k=1}^{n-1}\|x_k\|\right)\|x_n\|$$ erhalten wir $\phi_\Psi\in \mathcal L(E_1,\ldots,E_n;F)$ und es gilt $\|\phi_\Psi\|_{op}\le \|\Psi\|_{op}$.
Zusammengefasst haben wir Abbildungen $\phi\mapsto \Psi_\phi$ und $\Psi\mapsto\phi_\Psi$ konstruiert. Es gilt $$\Psi_{\phi_\Psi}=\Psi\quad\text{ und }\quad \phi_{\Psi_\phi}=\phi$$ und folglich erhalten wir die Abschätzung $$\|\Psi\|_{op}=\|\Psi_{\phi_\Psi}\|_{op}\le \|\phi_\Psi\|_{op}\le \|\Psi\|_{op}\quad\text{ und }\quad \|\phi\|_{op}=\|\phi_{\Psi_\phi}\|_{op}\le \|\Psi_\phi\|_{op}\le \|\phi\|_{op}.$$ Folglich sind die derart konstruierten Abbildungen jeweils isometrisch.
qed
6.4.3. Proposition. Der Raum $\mathcal L(E_1,\ldots,E_n;F)$ ist ein linearer Untervektorraum von $\mathcal C^1(E_1\times\ldots\times E_n,F)$. Es gilt $$\partial \phi(x_1,\ldots,x_n)(h_1,\ldots,h_n)=\sum_{k=1}^n\phi(x_1,\ldots,x_{k-1},h_k,x_{k+1},\ldots,x_n).$$
Beweis. Multilinearität liefert $$\phi(x_1+h_1,\ldots,x_n+h_n)=\phi(x_1,\ldots,x_n)+\left(\sum_{k=1}^n\phi(x_1,\ldots,x_{k-1},h_k,x_{k+1},\ldots,x_n)\right)+r(x,h), $$ wobei $r(x,h)$ eine Summe von Funktionswerten der multilinearen Abbildung $\phi$ ist, in der jeder Summand mindestens zwei verschiedene Einträge $h_k$ mit $k\le n$ besitzt. Folglich ist $$\lim_{\max_k\|h_k\|\to 0}\frac{r(x,h)}{\max_k\|h_k\|}=0.$$qed
6.4.4. Verallgemeinerte Produktregel. Es sei $X\subset E$ offen, $f_k\in \mathcal C^1(X,E_k)$ für $k\le n$, sowie $\phi\in \mathcal L(E_1,\ldots,E_n;F)$. Dann ist die Abbildung $$\phi(f_1,\ldots,f_n)\colon X\to F,\quad x\mapsto \phi\left(f_1(x),\ldots,f_n(x)\right)$$ in $\mathcal C^1(X,F)$ und es gilt für $v\in E$ $$D_v\left(\phi (f_1,\ldots,f_n)\right)(x)=\sum_{k=1}^n \phi\left(f_1(x),\ldots,f_{k-1}(x),D_vf_k(x),f_{k+1}(x),\ldots,f_n(x)\right).$$
Beweis. Dies folgt sofort aus 6.4.3 und der Kettenregel.
qed
Beispiel. Die Determinante $$\det(a^j_k)=\sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sign}(\sigma)a^1_{\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a^n_{\sigma(n)}$$ einer Matrix ist, je nach Gesichtspunkt, eine $n$-lineare Funktion entweder der Zeilenvektoren oder der Spaltenvektoren. Sind $f_1,\ldots, f_n\in \mathcal C^1(X,\mathbb K^n)$, so ist $\det(f_1,\ldots,f_n)\in \mathcal C^1(X,\mathbb K)$ und für die Richtungsableitung in Richtung $v\in E$ gilt $$D_v\det(f_1,\ldots,f_n)(x)=\sum_{k=1}^n\det(f_1,\ldots,f_{k-1},D_vf_k,f_{k+1},\ldots,f_n)(x).$$