Eine auf einem Intervall definierte, differenzierbare Funktion $f$, deren Ableitung nirgends verschwindet, ist umkehrbar nach Satz 3.2.5.. Die Umkehrfunktion $g$ ist selbst wiederum differenzierbar und es gilt $$g'(y)=\frac1{f'(g(y))}.$$ Diese Aussage wollen wir verallgemeinern. Das Nicht-Verschwinden der Ableitung bedeutet, dass die Jacobische der Funktion $f$ eine invertierbare $1\times 1$-Matrix ist. Betrachtet man den Spezialfall linearer Abbildungen, sieht man sofort, dass die Invertierbarkeit der Ableitung eine notwendige Voraussetzung ist, damit lokal eine Umkehrabbildung existieren kann. Es ist faszinierend, dass diese Bedingung sich als hinreichend herausstellt.
Es seien $E,F$ Banachräume über demselben Körper $\mathbb K$. Es sei $\mathcal Lis(E,F)\subset \mathcal L(E,F)$ die Menge der stetigen linearen Abbildungen $\phi\colon E\to F$, die ein stetiges Inverses $\phi^{-1}\in\mathcal L(F,E)$ besitzen.
6.5.1. Satz über die Umkehrabbildung. Es sei $X$ offen in $E$, $f\in\mathcal C^q(X,F)$ für ein $q\in \mathbb N$. Gilt $$\partial f(x_0)\in \mathcal Lis(E,F)$$ für ein $x_0\in X$, so gibt es eine offene Umgebung $U$ von $x_0$ in $X$ und eine offene Umgebung $V$ von $y_0:=f(x_0)$ mit folgenden Eigenschaften: