Wir beginnen mit einer intuitiv leicht nachvollziehbaren Aussage.
2.3.1. Satz. Jede kompakte, reguläre, nicht leere Fläche im \(\mathbb R^3\) besitzt einen elliptischen Punkt.
Beweis. Die Funktion \(\mathbb R^3\to \mathbb R, x\mapsto \|x\|\) nimmt auf dem nicht-leeren Kompaktum \(S\) ein Maximum in einem Punkt \(p\in S\subset \mathbb R^3\) mit \(\|p\|=R\) an. Der Tangentialraum \(T_pS\) steht senkrecht zu \(p\). Es seien \(X_1,X_2\in T_pS\) orthonormale Eigenvektoren der Weingarten-Abbildung der Fläche \(S\) im Punkte \(p\), und \(N=\tfrac{p}{\|p\|}\) der Normalenvektor. Lokal um \(p\) wird \(S\) beschrieben durch eine lokale Parametrisierung \[F\colon (u^1,u^2)
\mapsto p+u^1X_1+u^2X_2 + \tfrac12\left(\kappa_1u^1u^1+\kappa_2u^2u^2\right)N + O \left(\|u\|^3\right). \] Nach Konstruktion gilt \[
\begin{align} R^2 \ge&\left\langle F(u^1,u^2),F(u^1,u^2)\right\rangle\\
=& \left\langle p+ \tfrac12\left(\kappa_1u^1u^1+\kappa_2u^2u^2\right)N, p + \tfrac12\left(\kappa_1u^1u^1+\kappa_2u^2u^2\right)N\right\rangle \\
& +\left\langle u^1X_1,u^1X_1\right\rangle + \left\langle u^2X_1,u^2X_1\right\rangle + O \left(\|u\|^3\right)\\
=& \left(R+ \tfrac12\left(\kappa_1u^1u^1+\kappa_2u^2u^2\right)\right)^2 + u^1u^1+u^2u^2 + O \left(\|u\|^3\right)\\
=& R^2+ \left(R\kappa_1+1\right) u^1u^1+ \left(R\kappa_2+1\right)u^2u^2 + O \left(\|u\|^3\right). \end{align}
\] Setzen wir \(u^2\) gleich Null, so erhalten wir im Limes \(u^1\to 0\) die Ungleichung \(R\kappa_1+1\le 0\) und analog auch die Ungleichung \(R\kappa_2+1\le 0\). Daraus folgen die beiden Abschätzungen \[\kappa_1\le -\frac1R,\quad \kappa_2\le -\frac1R.\] qed
2.3.2. Definition. Eine reguläre Fläche, welche eine Parametrisierung \[F\colon I\times J\to \mathbb R^3,\quad (t,s)\mapsto c(t)+sv(t)\] mit Intervallen \(I,J\) und glatten Kurven \(c,v\colon I\to \mathbb R^3\) zulässt, nennt man Regelfläche.
Damit \(D_{(t,s)}F\) maximalen Rang besitzt, muss gelten, dass \(v(t)=\tfrac{\partial F}{\partial s}\) für jedes \(t\in I\) linear unabhängig ist zu \(\tfrac{\partial F}{\partial t}=\dot{c}(t)+s\dot{v}(t)\) für alle \(s\in J\).
2.3.3. Beispiele.
- Ist \(c\colon I\to \mathbb R^2\) eine ebene Kurve, so definiert \[F\colon I\times \mathbb R\to \mathbb R^3,\quad (t,s)\mapsto (c^1(t),c^2(t), s)\] einen verallgemeinerten Zylinder.
- Das Möbiusband wird beschrieben durch die Parametrisierung \[\begin{aligned}F\colon \mathbb R\times (-1,1) &\to \mathbb R^3\\
(t,s) &\mapsto \pmatrix{\cos t\\ \sin t\\0} +s \pmatrix{\cos t \cdot \cos\tfrac{t}2 \\ \sin t \cdot \cos\tfrac{t}2 \\ \sin\tfrac{t}2} \end{aligned}.\] - Die Regelfläche \[\begin{aligned}F\colon \mathbb R\times \mathbb R &\to \mathbb R^3\\
(t,s) &\mapsto \pmatrix{\cos t\\ \sin t\\0} +s \pmatrix{-\sin t \\ \cos t \\ 1} \end{aligned}\] beschreibt das Rotationshyperboloid \[\left\{(x,y,z)^t\in \mathbb R^3\mid x^2+y^2-z^2=1\right\}.\] - Das hyperbolische Paraboloid \[\left\{(x,y,z)^t\in \mathbb R^3\mid z=xy\right\}\] besitzt als Regelfläche die Parametrisierung \[\begin{aligned}F\colon \mathbb R\times \mathbb R &\to \mathbb R^3\\
(t,s) &\mapsto \pmatrix{t\\ 0\\0} +\tfrac{s}{\sqrt{1+t^2}} \pmatrix{0 \\ 1 \\ t} \end{aligned}.\]
2.3.4. Satz. In jedem Punkt \(p\) einer Regelfläche im \(\mathbb R^3\) gilt für die Gauß-Krümmung \[K(p)\le 0.\] Insbesonders gibt es keine kompakten Regelflächen im \(\mathbb R^3\).
Beweis. Wir berechnen die Gauß-Krümmung mittels der Formel \[K(p)=\frac{\det II_p}{\det I_p}.\] Da die Bilinearform \(I_p\) positiv definit ist, gilt \(\det I_p\gt 0\). Aus der Formel \(F(t,s)=c(t)+sv(t)\) folgern wir das Verschwinden des Eintrags \[h_{22}=\left\langle\tfrac{\partial^2 F}{\partial s^2},N\right\rangle =
\left\langle 0,N\right\rangle =0\] der symmetrischen Matrix \(II_p=\pmatrix{h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}}\) und erhalten \[\det II_p =h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}=0-h_{12}^2\le 0.\]qed
2.3.5. Definition. Eine reguläre Fläche heißt Minimalfläche, wenn das mittlere Krümmungsfeld \(\mathcal H\) identisch verschwindet.
2.3.6. Satz. In jedem Punkt \(p\) einer Minimalfläche im \(\mathbb R^3\) gilt für die Gauß-Krümmung \[K(p)\le 0.\] Insbesonders gibt es keine kompakten Minimalflächen im \(\mathbb R^3\).
Beweis. Die beiden Hauptkrümmungen sind reelle Zahlen und die Nullstellen des charakteristischen Polynoms \(X^2-2H_pX+K_p\) der Weingarten-Abbildung. Verschwindet die mittlere Krümmung \(H_p=0\), so besitzt das Polynom \(X^2+K_p\) nur dann reelle Nullstellen, falls \(K_p\le 0\) gilt.
qed
Die Minimalflächen verdanken ihren Namen dem Phänomen, dass der Flächeninhalt solcher Flächen einen kritischen Punkt bezüglich glatter Variationen der Fläche darstellt. Dazu soll der folgende Satz bewiesen werden.
2.3.7. Satz. Es sei \(S\) eine reguläre Fläche mit mittlerem Krümmungsfeld \(\mathcal H\) endlichem Flächeninhalt \[A[S]:=\int_S 1\,dA.\] Ist \(\Phi\colon S\to \mathbb R^3\) ein glattes Normalenfeld mit kompakten Träger, so wird für genügend kleines \(|t|\) durch \[S_t:=\{ p+\Phi(p)\mid p\in S\}\] eine reguläre Fläche mit endlichem Flächeninhalt beschrieben und es gilt die Variationsgleichung \[\tfrac{d}{dt}A[S_t]|_{t=0}=-2\int_S\left\langle \Phi,\mathcal H\right\rangle\,dA.\]
Wir stellen uns die Menge der regulären Flächen im Raum als eine unendlich dimensionale Mannigfaltigkeit vor und die Zuordnung, die zu jeder Fläche ihren Flächeninhalt angibt, als eine differenzierbare Funktion auf dieser unendlich dimensionalen Mannigfaltigkeit. Ein glattes Normalenfeld auf einer gegebenen Fläche stellt dann einen Tangentialvektor an diese unendlich dimensionale Mannigfaltigkeit dar. Der oben angegebene Satz beschreibt in diesem Bild die Richtungsableitung der Flächeninhaltsfunktion an dem durch die gegebene Fläche beschriebenen Punkt in unserer unendlich dimensionalen Mannigfaltigkeit in die durch das Normalenfeld beschriebene Richtung. An dieser Stelle wollen wir uns nicht in die technischen Details dieser Beschreibung verlieren, wie zum Beispiel die Topologie oder die differenzierbare Struktur einer solchen unendlich dimensionalen Konstruktion genau definiert werden könnte. Hier interessiert uns, auf welche Weise die mittlere Krümmung in solch eine Beschreibung eingeht. Hinsichtlich des Flächenintegrals beschränken wir uns auf einige Bemerkungen.
2.3.8. Exkurs: Integration auf Flächen. Sei \(F\colon U\to V\) eine lokale Parametrisierung einer regulären Fläche \(S\).
2.3.9. Definition. Eine Funktion \(f\colon S\to\mathbb R\) mit Träger in \(S\cap V\) heißt Lebesgue-integrierbar, wenn die auf \(U\) definierte Funktion \[
(u^1,u^2)\mapsto f\left(F(u^1,u^2)\right)\cdot\sqrt{\det\left(g_{ij}(u^1,u^2)\right)}\] Lebesgue-integrierbar ist. Das Integral von \(f\) ist dann definiert \[
\int_Sf\,dA:=\int_U f\left(F(u^1,u^2)\right)\cdot\sqrt{\det\left(g_{ij}(u^1,u^2)\right)}\,du^1du^2.
\]
Aus der Transformationsformel für das Integral im \(\mathbb R^n\) folgt:
2.3.10. Lemma. Sind \(F\colon U\to V\) und \(\widetilde{F}\colon \widetilde{U}\to \widetilde{V}\) zwei lokale Parametrisierungen der regulären Fläche \(S\) und sei \(f\colon S\to \mathbb R\) eine reellwertige Funktion mit Träger \[\mathrm{supp}\,f:=\overline{\{p\in S\mid f(p)\not=0\}}\subset V\cap \widetilde{V}.\] Dann ist \(\left(f\circ F\right)\sqrt{\det g_{ij}}\) genau dann integrierbar, wenn \(
\left(f\circ \widetilde{F}\right)\sqrt{\det \widetilde{g}_{ij}}\) integrierbar ist und es gilt \[\int_U \left(f\circ F\right)\sqrt{\det g_{ij}}\,du^1du^2 =\int_{\widetilde{U}}\left(f\circ \widetilde{F}\right)\sqrt{\det \widetilde{g}_{ij}} \,d\widetilde{u}^1d\widetilde{u}^2.\]
Beweis von 2.3.10. Die Parametertransformation \(\varphi:=\widetilde{F}^{-1}\circ F\) beschreibt die Parameter \(\widetilde{u}^i\) als Funktionen in den Variablen \(u^j\), also \(\widetilde{u}^i= \widetilde{u}^i(u^1,u^2).\) Die Jacobische \[D\varphi =\left(\tfrac{\partial \widetilde{u}^i}{\partial u^j}\right)_{ij}\] der Parametertransformation beschreibt das Transformationsverhalten der Tangentialvektoren \[\tfrac{\partial }{\partial u^j} =\sum_{i=1}^2\tfrac{\partial \widetilde{u}^i}{\partial u^j}\tfrac{\partial }{\partial \widetilde{u}^i}.\] Die sich ergebende Transformationsformel der Einträge \[
g_{ij}=\left\langle \tfrac{\partial }{\partial u^i},\tfrac{\partial }{\partial u^j}\right\rangle=
\sum_{k,l=1}^2\tfrac{\partial \widetilde{u}^k}{\partial u^i}\tfrac{\partial \widetilde{u}^l}{\partial u^j}
\left\langle \tfrac{\partial }{\partial \widetilde{u}^k}, \tfrac{\partial }{\partial \widetilde{u}^l}\right\rangle
\] der ersten Fundamentalform liest sich in Matrixschreibweise \[I=D\varphi^t\cdot \widetilde{I}\cdot D\varphi.
\] Insbesondere gilt \[\sqrt{\det g_{ij}}=|\det D\varphi|\sqrt{\det\widetilde{g}_{ij}}.\] Aus dem Transformationssatz für das Integral im euklidischen Raum folgt das Lemma.
qed
Ist nun \(S\) eine reguläre Fläche, so finden wir eine abzählbare, disjunkte Zerlegung \(S=\sqcup_{i\in I}B_i\) von \(S\) in Borel-messbare Teilmengen \(B_i\), so dass jede dieser Teilmengen in einer Kartenumgebung \(S\cap V_i\supset B_i\) enthalten ist. Es bezeichne \(\chi_B\) die charakteristische Funktion \[\chi_B(p):=\begin{cases}1&\text{ für }p\in B\\ 0&\text{ sonst}\end{cases}\] einer Borel-messbaren Menge \(B\subset S\). Dann ist das Integral einer Lebesgue-integrierbaren Funktion \(f\colon S\to \mathbb R\) definiert durch \[
\int_Sf\,dA= \sum_{i\in I}\int_{S}\chi_{B_i}f\,dA.
\] Aus 2.3.10 folgt leicht, dass dieses Integral nicht von den Wahlen von Zerlegungen in Borel-messbare Teilmengen oder Parametrisierungen abhängt.
Beweis von 2.3.7. Zuerst sei der Träger von \(\Phi\) in einem Koordinatenbereich enthalten. Es gibt also eine lokale Parametrisierung \(F\colon U\to V\) mit \(\mathrm{supp}\,\Phi\subset V\cap S.\) Damit erhält \(S_t\) die lokale Parametrisierung \[ F_t\left(u^1,u^2\right)=F\left(u^1,u^2\right)+t\cdot \Phi\left(u^1,u^2\right).\] Das Differential \(DF_t\) ist stetig in der Variablen \(t\) und \(DF_0\) hat maximalen Rang. Folglich besitzt \(DF_t\) maximalen Rang für \(t\) in einer \(\varepsilon\)-Umgebung der \(0\). In dieser Umgebung ist \(F_t\) eine lokale Parametrisierung einer regulären Fläche. Bezeichnet \(N\) ein Einheitsnormalenfeld auf \(S\cap V\), so gilt \(\Phi=f\cdot N\) für eine glatte Funktion \(f\colon S\to \mathbb R\) mit Träger in \(S\cap V\). Mit \[
\tfrac{\partial F_t}{\partial u^i} = \tfrac{\partial F}{\partial u^i}+ t\tfrac{\partial f}{\partial u^i}N+tf\tfrac{\partial N}{\partial u^i}
\] berechnet sich die erste Fundamentalform der deformierten Fläche zu \[
\begin{aligned}g_{ij,t}&=\left\langle \tfrac{\partial F_t}{\partial u^i},\tfrac{\partial F_t}{\partial u^j}\right\rangle\\
&=g_{ij}+t\left(\tfrac{\partial f}{\partial u^i}\left\langle N,\tfrac{\partial F}{\partial u^j}\right\rangle+
\tfrac{\partial f}{\partial u^j}\left\langle\tfrac{\partial F}{\partial u^i},N\right\rangle\right)+
tf\left(\left\langle \tfrac{\partial F}{\partial u^i},\tfrac{\partial N}{\partial u^j}\right\rangle +
\left\langle \tfrac{\partial N}{\partial u^i},\tfrac{\partial F}{\partial u^j},\right\rangle\right) +O(t^2)\\
&=g_{ij} + \left(\tfrac{\partial f}{\partial u^i}\cdot 0+ \tfrac{\partial f}{\partial u^j}\cdot 0\right) + tf\left(-h_{ij}-h_{ji}\right)+O(t^2)\\
&= g_{ij}-2tfh_{ij}+O(t^2)\\
&= \sum_{k=1}^2\left(\delta_i^k-2tfw_i^k\right)g_{kj}+O(t^2).
\end{aligned}\] Aus dem charakteristische Polynom \(\det(t-X)=t^{\dim V}-t^{\dim V-1}\mathrm{tr}\,X+\ldots\pm\det X\) einer Matrix lässt sich die Taylorentwicklung der Determinante \[\det\left(\mathrm{Id}+X\right)=1+\mathrm{tr}\,X+O\left(\|X\|^2\right)\] ableiten. Mit der Taylorentwicklung \[\sqrt{1+x}=1+\tfrac12x+O(x^2)\] der Wurzelfunktion erhalten wir \[\begin{aligned}
\sqrt{\det(g_{ij,t})}&=\sqrt{\det(\delta_i^k-2tfw_i^k)+O(t^2)}\cdot \sqrt{\det(g_{ik})}\\
&=\sqrt{1-2tf\mathrm{tr}(w_i^k)+O(t^2)}\cdot \sqrt{\det(g_{ik})}\\
&=\left(1-tf2H+O(t^2)\right)\sqrt{\det(g_{ik})}\cdot \\
&=\left( 1-2t\langle \Phi,\mathcal H\rangle \right)\sqrt{\det(g_{ik})}\cdot +O(t^2)
\end{aligned}\] und nach Integration \[A[S_t]=A[S]-2t \int_S\left\langle \Phi,\mathcal H\right\rangle\,dA+O(t^2).\] Damit ist der Satz bewiesen, falls der Träger von \(\Phi\) in einer Koordinatenumgebung enthalten ist.
Im allgemeinen Fall existieren nach Lemma 2.3.11. endlich viele Koordinatenumgebungen \(U_1,\ldots,U_n\), welche \(\mathrm{supp}\,\Phi\) überdecken, sowie eine subordinierte Teilung der Eins \((\rho_i)_{i\le n}\). Daraus konstruieren wir eine \(n\)-Parameterfamilie von Deformationen \[S_{t_1,\ldots,t_n}=\left\{p+\sum_{i=1}^nt_i\rho_i\Phi(p)\mid p\in S\right\}\] mit partiellen Ableitungen \[ \tfrac{\partial}{\partial t_i}A[S_{t_1,\ldots,t_n}]|_{t_i=0}=-2\int_S\left\langle \rho_i\Phi,\mathcal H\right\rangle\,dA.\] Die Behauptung folgt nun mit Hilfe der Kettenregel \[\begin{aligned} \tfrac{d}{dt}A[S_t]|_{t=0}&=\tfrac{d}{dt}A[S_{t,\ldots,t}]|_{t=0}\\
&= \sum_{i=1}^n \tfrac{\partial}{\partial t_i}A[S_{t_1,\ldots,t_n}]|_{t_i=0}\\
&= - 2\sum_{i=1}^n \int_S\left\langle \rho_i\Phi,\mathcal H\right\rangle\,dA\\
&=-2\int_S\left\langle \Phi,\mathcal H\right\rangle\,dA.
\end{aligned}\]qed
Die folgende Aussage zur Existenz einer glatten Teilung der Eins wird im weiteren Verlauf der Vorlesung für allgemeine Mannigfaltigkeiten bewiesen werden:
2.3.11. Lemma. Ist \(S\) eine reguläre Fläche und \((U_i)_{i\in I}\) eine offene Überdeckung von \(S\), so existiert eine subordinierte glatte Teilung der Eins, d.h. es existieren glatte Funktionen \(\rho_i\colon S\to [0,1]\) mit \(\mathrm{supp}(\rho_i)\subset U_i\), so dass für jedes \(p\in S\) jeweils nur endlich viele Indizes \(I\in I\) existieren mit \(p\in \mathrm{supp}(\rho_i)\) und außerdem gilt \(\sum_{i\in I}\rho_i(p)=1\).
2.3.12. Korollar. Die reguläre Fläche \(S\) mit kompakten Abschluss \(\overline{S}\subset \mathbb R^3\) habe minimalen Flächeninhalt unter allen regulären Flächen mit gleichem Rand. Dann verschwindet das mittlere Krümmungsfeld \(\mathcal H\) von \(S\) identisch.
Beweis von 2.3.12. Angenommen, \(\mathcal H(p)\not=0\) für ein \(p\in S\). Sei \(V\subset S\) eine Umgebung von \(p\) mit kompaktem Abschluss in \(S\), und \(\rho_V,\rho_{S\setminus\{p\}}\) eine der Überdeckung \((V,S\setminus\{p\})\) von \(S\), so wenden wir den obigen Satz auf \(\Phi=\rho_V\mathcal H\) an und erhalten \[\int_S\langle \Phi,\mathcal H\rangle\,dA\not=0.\] Da \(S\) minimalen Flächeninhalt besitzt, muss gelten \[\tfrac{d}{dt}A[S_t]|_{t=0}=0\] im Widerspruch zur Variationsformel.
qed