3.1. Zusammenhang

3.1.1. Definition. Ein topologischer Raum $X$ heißt zusammenhängend, falls $\emptyset$ und $X$ die einzigen Teilmengen von $X$ sind, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind.

3.1.2. Satz. Für einen topologischen Raum $X$ sind äquivalent:

1. Der Raum $X$ ist zusammenhängend.
2. Der Raum $X$ ist nicht homöomorph zu einer disjunkten Summe $X=X_1\sqcup X_2$ nicht-leerer Teilräume.
3. Jede stetige Abbildung $f\colon X\to Y$ in einen diskreten Raum $Y$ ist konstant.
4. Jede stetige Abbildung $g\colon X\to S^0=\{\pm1\}$ ist konstant.

Beweis.

1. $\implies$ ii. Wäre $X=X_1\sqcup X_2$ direkte Summe nicht-leerer Teilräume, so wären beide Teilräume offen in $X$ und folglich auch abgeschlossen.
2. $\implies$ iii. Wäre $f\colon X\to Y$ stetig und hätte außer $y\in Y$ noch weitere Elemente von $Y$ im Bild, so wäre $X=X_1\sqcup X_2$ für die beiden offenen und nicht-leeren Teilmengen $X_1=f^{-1}(y)$ und $X_2=f^{-1}\left(Y\setminus\{y\}\right)$.
3. $\implies$ iv ist klar.
4. $\implies$ i. Ist $g\colon X\to S^0=\{\pm1\}$ nicht konstant, so sind $X_1=g^{-1}(1)$ und $X_2=g^{-1}(-1)$ zwei nicht-leere, offene und abgeschlossene offene Teilmengen von $X$.

qed

3.1.3. Korollar. Intervalle sind zusammenhängend.

Beweis. Angenommen, es gäbe eine stetige Abbildung $g\colon I\to \{\pm1\}\subset \mathbb R$ eines Intervalls $I$ und $a,b\in I$ mit $g(a)=1, g(b)=-1$. Nach dem Zwischenwertsatz gäbe es ein $c\in I$ mit $g(c)=\frac12$. Das ist absurd.
qed

3.1.4. Korollar. Stetige Bilder zusammenhängender Räume sind zusammenhängend.

Beweis. Es sei $f(X)$ stetiges Bild eines zusammenhängenden Raumes $X$ und $g\colon f(X)\to S^0$ stetig. Dann ist $g\circ f\colon X\to S^0$ stetig und folglich konstant. Insbesondere ist auch $g$ konstant.
qed

3.1.5. Korollar. Es sei $X=\bigcup_{j\in J}X_j$ Vereinigung zusammenhängender Räume $X_j$ und es gelte $X_j\cap X_k\not=\emptyset$ für $j,k\in J$. Dann ist $X$ zusammenhängend.

Beweis. Es sei $f\colon X\to S^0$ stetig. Da die Unterräume $X_j$ zusammenhängend ist, ist die Einschränkung $f|_{X_j}$ konstant. Wegen $X_j\cap X_k\not=\emptyset$ folgt $f(X_j)=f\left(X_j\cap X_k\right)=f(X_k)$ für alle $j,k\in J$ und folglich ist $f$ konstant auf $X=\bigcup_{j\in J}X_j$.
qed

3.1.6. Korollar und Definition. Die Zusammenhangskomponente $Z(x)$ eines Punktes $x\in X$ ist der maximale zusammenhängende Teilraum des topologischen Raums $X$, welcher $x$ enthält. Dieser ist abgeschlossen.

Beweis. Die Definition von $Z(x)$ macht Sinn, da die Vereinigung aller zusammenhängenden Teilräume von $X$, welche $x$ enthalten, nach 3.1.5. selbst wieder zusammenhängend ist. Ist $f\colon\overline{Z(x)}\to S^0$ eine stetige Abbildung, so ist ihre Einschränkung auf $Z(x)$ konstant. Das Urbild des angenommenen Wertes ist eine abgeschlossene Teilmenge von $\overline{Z(x)}$, welche $Z(x)$ enthält und somit auch dessen Abschluss. Also ist $f$ konstant.
qed

Die Zusammenhangskomponenten von Punkten in $\mathbb Q$ sind jeweils nur Punkte. Insbesondere sind Zusammenhangskomponenten im Allgemeinen nicht offen. Besitzt ein Raum jedoch nur endlich viele Zusammenhangskomponenten, so sind diese jeweils offen, denn ihr Komplement besteht aus jeweils nur endlich vielen abgeschlossenen Teilmengen.

3.1.7. Korollar. Ein Produkt $X\times Y$ ist genau dann zusammenhängend, falls die Faktoren $X$ und $Y$ es sind.

Beweis. Falls das Produkt zusammenhängt, so auch dessen stetige Bilder $X$ und $Y$. Sei umgekehrt $X$ und $Y$ zusammenhängend und $(u,v)$ ein Punkt in $X\times Y$. Die nach 3.1.5. zusammenhängende Teilmenge $$\big(X\times \{v\}\big)\cup \big(\{x\}\times Y\big),$$ und mit ihr auch $(u,v)$, ist in der Zusammenhangskomponente $Z\big((x,y)\big)$ enthalten.
qed