Der Begriff Menge ist ein Grundbegriff der Mathematik und deshalb in einem axiomatischem Aufbau nicht definiert. Der Erfinder der Mengenlehre, Georg Cantor, beschreibt, was man sich unter einer Menge vorzustellen hat:
Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen.
Beispiele:
- Die leere Menge \(\emptyset\) ohne jedwedes Element.
- Die natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\)
- Die ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}=\{0,\pm1,\pm2,\ldots\}\)
- Die rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b}\;\big|\; a\in\mathbb{Z},b\in\mathbb{N}\right\}\)
Der senkrechte Strich in der Mengenklammer bedeutet mit der Eigenschaft oder wobei gilt. Es gibt keine einheitliche Konvention, ob die Null eine natürliche Zahl ist oder nicht. Hier ist sie es nicht [1], im Zeichen \(0\notin\mathbb{N}\). Diese Mengen sind ineinander enthalten und selbst Teilmengen der Menge der reellen Zahlen, in der mathematischen Symbolsprache \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\). Dies bedeutet z.B. dass jede natürliche Zahl \(n\) auch Element von \(\mathbb{R}\) (kurz: \(n\in\mathbb{R}\)) ist.
Allgemeiner heißt eine Menge \(N\) Teilmenge einer anderen Menge \(M\), im Zeichen \(N\subset M\), wenn jedes Element von \(N\) auch Element von \(M\) ist. Gilt sowohl \(N\subset M\), als auch \(M\subset N\), so sind die Mengen \(M\) und \(N\) gleich.
Sind \(M\) und \(N\) Mengen, so bilden diejenigen Elemente von \(M\), die nicht auch in \(N\) enthalten sind, das Komplement \(M\setminus N\) von \(N\) in \(M\).
Sei \(I\) eine Menge und für jedes \(i\in I\) sei eine Menge \(M_i\) gegeben. Der Durchschnitt \(\bigcap_{i\in I} M_i\) besteht aus denjenigen Elementen, die in jeder der Mengen \(M_i\) enthalten sind. Jedes Element der Vereinigung \(\bigcup_{i\in I} M_i\) ist in mindestens einer der Mengen \(M_i\) enthalten. Statt \(\bigcap_{i\in \{1,2\}}M_i\) und \(\bigcup_{i\in \{1,2\}}M_i\) schreibt man auch \(M_1 \cap M_2\) und \(M_1 \cup M_2\).
Eine Abbildung \(f\colon M\to N\) ordnet jedem Element \(m\in M\) eindeutig ein Element \(f(m)\in N\) zu. Die Menge \(M\) nennt man den Definitionsbereich von \(f\), die Menge \(N\) den Bildbereich oder Wertebereich. Eine solche Abbildung \(f\colon M\to N\) heißt injektiv, surjektiv oder bijektiv, wenn es zu jedem \(n\in N\) höchstens, mindestens oder genau ein \(m\in M\) gibt mit \(f(m)=n\).
Eine injektive Abbildung nennt man Injektion. Eine Surjektion ist eine Abbildung auf eine Menge, überdeckt also den Wertebereich. Eine Bijektion ist umkehrbar: Ist \(f:M\to N\) eine bijektive Abbildung, so können wir eine inverse Abbildung \(f^{-1}\colon N\to M\) definieren durch die Vorschrift: Das Urbild \(f^{-1}(n)\) von \(n\in N\) ist das eindeutig bestimmte Element \(m\in M\), für das gilt \(f(m)=n\).
Sind \(M\) und \(N\) Mengen, so bilden die Abbildungen von \(M\) nach \(N\) im Übrigen wieder eine Menge $$F(M,N):=\{f\colon M\to N\}.$$ Die injektiven Abbildungen und die surjektiven Abbildungen sind jeweils Teilmengen. Ihr Durchschnitt besteht genau aus den bijektiven Abbildungen.
Die Komposition \(g\circ f\colon M\to P\) (sprich \(g\) folgt auf \(f\)) zweier Abbildungen \(f\colon M\to N\) und \(g\colon N\to P\) ist definiert durch \(\left(g\circ f\right)(m):=g(f(m))\).
Das Produkt \(M\times N\) zweier Mengen besteht aus allen geordneten Paaren \((m,n)\), wo \(m\in M\) und \(n\in N\) ist. Eine Abbildung \(f\colon M\to N\) kann auch verstanden werden als eine Teilmenge \(\{ \left( m, f(m) \right) \vert m\in M \}\) des Produkts \(M\times N\). Die Teilmengen \(G\subset M\times N\), welche eine Abbildung von \(M\) nach \(N\) beschreiben, sind dadurch charakterisiert, dass es zu jedem \(m\in M\) genau ein Element in \(G\) gibt, dessen erste Komponente gleich \(m\) ist.
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[1] Diese Konvention entspricht weder der klassisch griechischen noch ist sie DIN-konform. Gemäß Euklids Elementen (Buch VII, Definitionen 1 und 2) ist die 1 eine Einheit. Die Zahlen beginnen erst ab der 2. Nach DIN-Norm 5473 werden mit \(\mathbb N\) die nicht-negativen ganzen Zahlen bezeichnet, die positiven ganzen Zahlen hingegen mit \({\mathbb N}^\ast\).