0.1. Mannigfaltigkeiten

Es sei an die Begriffsbildung aus dem vergangenen Semester erinnert:

0.1.1. Definition. Eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension \(n\) ist ein topologischer Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie, der lokal homöomorph zum euklidischen Raum \(\mathbb R^n\) ist.

Ein Raum \(X\) ist lokal homöomorph zu \(\mathbb R^n\), wenn jeder Punkt \(x\in X\) eine offene Umgebung \(U\subset X\) besitzt, welche homöomorph ist zu einem offenen Unterraum \(V\subset \mathbb R^n\).

Jedem topologischen Raum \(X\) lässt sich die Garbe \(\mathcal C_X^0:=\mathcal C_X(\;\_\;;\mathbb R)\) der stetigen, reellwertigen Funktionen zuordnen. Einem offenen Unterraum \(U\subset X\) ordnet diese Garbe die Menge \(\mathcal C(U;\mathbb R)\) stetiger, reellwertiger Funktionen auf \(U\) zu. Die Restriktionsabbildung \(\rho_{U,U'}\colon\mathcal C(U;\mathbb R)\to \mathcal C(U';\mathbb R)\) für eine offene Teilmenge \(U'\subset U\) ordnet einer Funktion \(f\in \mathcal C(U;\mathbb R)\) die Einschränkung \(\rho_{U,U'}(f)=f|_{U'}\) auf \(U'\) zu. Punktweise Addition und Multiplikation von Funktionen machen die Garbe \(\mathcal C_X^0\) zu einer Garbe von kommutativen reellen Algebren.

0.1.2. Definition. Eine \(\mathcal C^\infty\)-Struktur auf einer topologischen Mannigfaltigkeit \(M\) ist eine Unteralgebrengarbe \(\mathcal A_M\) der Garbe \(\mathcal C_M^0\) der stetigen Funktionen auf \(M\), welche lokal isomorph ist zur Unteralgebrengarbe \(\mathcal C^\infty_{\mathbb R^n}\subset \mathcal C^0_{\mathbb R^n}\) der beliebig oft stetig differenzierbaren Funktionen. Die Garbe \(\mathcal A_M\) heißt Strukturgarbe von \(M\), und das Paar \((M,\mathcal A_M)\) wird eine glatte Mannigfaltigkeit genannt.

Wir können die Situation auch beschreiben, ohne auf die Garbensprechweise zu rekurrieren.

0.1.2'. Definition (Axiom einer glatten Struktur). Für jeden Punkt einer \(m\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(M\) existiert eine offene Umgebung \(U\) und \(n\) Funktionen \(x^1,\ldots,x^m\colon U\to \mathbb R\) derart, dass gilt:

• Die Abbildung \(x\colon u\mapsto \left(x^1(u),\ldots,x^m(u)\right)\) von \(U\) nach \(\mathbb R^m\) beschreibt einen Homöomorphismus auf eine offene Teilmenge \(V\subset \mathbb R^m\). Insbesondere kann jede reelle Funktion \(f\colon U\to \mathbb R\) beschrieben werden mittels \(x^1,\ldots,x^m\), \[f(u)=f\left(x^1(u),\ldots,x^m(u)\right).\]
• Die reelle Funktion \(f\) ist genau dann \(\mathcal C^\infty\) an einem Punkt in \(U\), wenn es eine offene Umgebung \(U'\subset U\) dieses Punktes gibt, so dass \(f(x^1,\ldots,x^m)\) als Funktion auf \(V'=x(U')\subset \mathbb R^m\) beliebig oft stetig differenzierbar in den Variablen \(x^1,\ldots,x^m\) ist.

Jedes auf einer offenen Menge \(U\) definierte Tupel von Funktionen \(x^1,\ldots,x^m\) mit den obigen Eigenschaften heißt lokales Koordinatensystem auf \(U\). Die erste Bedingung

Weitere Stichpunkte:

• Beispiele: Sphäre verschiedene Karten, projektive Räume, homogene Koordinaten
• Konfigurationsräume von Dreiecken, Vierecken, Fünfecken im Raum: Gewisse Fünfecke haben \(\mathbb CP^2\) als Konfigurationsraum (Beschreibung als torische Varietät).