Mittelwertsatz der Integralrechnung 4.2.1 Es sei $f\colon I=[a,b]\to\mathbb R$ stetig. Dann existiert ein $c \in I$ mit $$
\int\limits^b_a f\,dx=f(c)\cdot (b-a) .
$$
Beweis. Mit der Zerlegung $Z=(a,b)$ von $[a,b]$ bekommen wir die Abschätzung $$
\min_{x\in I}\left(f(x)\right)\cdot(b-a)=U(Z,f)\le\int\limits^b_a f\, dx\le O(Z,f)=\max_{x\in I}\left(f(x)\right)\cdot(b-a),
$$ und somit
$$
\min_{x\in I}\left(f(x)\right)\le\frac{1}{(b-a)}\int\limits^b_a f\, dx \le \max_{x\in I}\left(f(x)\right).
$$ Nach dem Zwischenwertsatz existiert ein $c\in I$ mit
$$
f (c)=\frac{1}{(b-a)}\int\limits^b_a f\, dx.
$$qed
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 4.2.2 Es sei $I\subset\mathbb R$ ein Intervall, $f:I\to\mathbb R$ stetig und $a\in I$. Die durch $$F(x):=\int\limits^x_a f(t)\,dt$$ definierte Funktion $F:I\to\mathbb R$ ist differenzierbar mit Ableitung $F'(x)=f (x)$.
Beweis. Für Elemente $x_0\ne x$ in $I$ gibt es nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung einen Wert $\xi_x$ zwischen $x$ und $x_0$ mit
$$
F(x)-F(x_0)=\int\limits^x_a f(t)dt-\int\limits^{x_0}_a
f(t)dt=\int\limits^x_{x_0}f(t)dt=(x-x_0)f(\xi_x).
$$ Also gilt
$$
\lim_{x\to x_0}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}f(\xi_x)=f(x_0).
$$qed
Es lohnt sich, diesen Satz algebraisch zu interpretieren: Die Ableitung
$$
\frac{d}{dx}: C^{k+1}(I)\to C^k(I)\quad \text{ für }\quad k\ge 0
$$ ist eine lineare Abbildung zwischen unendlich dimensionalen reellen Vektorräumen. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist der Kern dieser linearen Abbildung eindimensional und besteht aus den konstanten Funktionen. Das Integral liefert für jedes $a\in I$ eine lineare Abbildung
$$
\int\limits_a:C^k(I)\to C^{k+1}(I),\quad f\mapsto \int\limits^x_a f(t)\,dt.
$$ Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt, dass $\int_a$ rechtsinvers zur linearen Abbildung $\frac{d}{dx}$ ist, d.h.
$$
\frac{d}{dx}\; \circ\int\limits_a=id:C^k(I)\to C^k(I).
$$ Insbesondere ist die lineare Abbildung $\frac{d}{dx}$ surjektiv.
Definition. Es sei $I\subset \mathbb R$ ein Intervall.
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sind die Begriffe Stammfunktion und unbestimmtes Integral synonym im Falle stetiger Funktionen. Man beachte, dass Stammfunktionen und unbestimmte Integrale nur bis auf Konstanten bestimmt sind: Sind $F$ und $G$ Stammfunktionen bzw. unbestimmte Integrale von $f$, so ist die Differenz $F-G$ nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung konstant.
Die Funktion $$
\mathrm{sgn}\colon \mathbb R\to \mathbb R, \quad \mathrm{sgn}(x)=\begin{cases}
-1&\text{für } x\lt 0\\
0&\text{für } x= 0\\
1&\text{für } x \gt 0
\end{cases}
$$ besitzt ein unbestimmtes Integral, nämlich die Betragsfunktion, aber keine Stammfunktion, da die Betragsfunktion bekanntlich im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.
Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung findet man mit einem Schlag unbestimmte Integrale für eine große Klasse von Funktionen.
Funktion | Stammfunktion |
---|---|
$X^{\alpha} \text{ für } \alpha\in \mathbb R\setminus \{-1\}$ | $\frac1{1+\alpha}X^{1+\alpha}$ |
$X^{-1}$ | $\log\left|X\right|$ |
$\frac1{1+x^2}$ | $\arctan(x)$ |
$\exp(X)$ | $\exp(X)$ |
$\sin(X)$ | $-\cos(X)$ |
$\cos(X)$ | $\sin(X)$ |
$\tan(X)$ | $-\log\left(\cos\left(X\right)\right)$ |
Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Integralrechnung 4.2.4 Es seien $f,g \colon I=[a,b]\to\mathbb R$ stetige Funktionen und es gelte $g(x)\not=0$ für alle $x\in (a,b)$. Dann existiert ein $c \in I$ mit $$
\int\limits^b_a f(x)g(x)\,dx=f(c)\cdot \int_a^b g(x)\,dx.
$$
Beweis. Nach dem Zwischenwertsatz besitzt die Funktion $g$ auf $(a,b)$ stets dasselbe Vorzeichen. Für die Funktion $G(x):=\int_a^x g(t)\,dt$, die nach dem Hauptsatz differenzierbar ist, gilt $G(x)\not=0$ für alle $x\gt a$. Die Funktionen $G$ und $F(x):=\int_a^xf(t)g(t)\,dt$ erfüllen damit die Voraussetzungen des verallgemeinerten Mittelwertsatzes der Differentialrechnung. Somit existiert ein $c\in (a,b)$ mit \[
\frac{F(b)-F(a)}{G(b)-G(a)}=\frac{F'(c)}{G'(c)}=\frac{f(c)g(c)}{g(c)}=f(c).
\]Ersetzt man noch $F(b)-F(a)=\int_a^b f(t)g(t)\,dt$ und $G(b)-G(a)=\int_a^b g(t)\,dt$, so erhält man die Behauptung des Satzes.
qed
Es ist im Allgemeinen eine hohe Kunst, Stammfunktionen zu gegebenen Funktionen zu finden. Als handwerkliche Hilfsmittel stehen uns zwei Methoden zu Verfügung: Partielle Integration und Substitution. Diese werden im Folgenden besprochen.