Es bleibt zu zeigen, dass die singuläre Kohomologie tatsächlich eine multiplikative Kohomologietheorie ist. An dieser Stelle definieren wir das Cup-Produkt auf Koketten-Niveau. Den Beweis, dass die derart definierte Multiplikation alle geforderten Axiome erfüllt, verschieben wir auf später.
2.2.13. Definition. Das Tensorprodukt zweier Kettenkomplexe $(A_*,\partial^A_*)$ und $(B_*,\partial^B_*)$ zwei Kettenkomplexe ist der Kettenkomplex $\left((A\otimes B)_*,\partial_*\right)$ mit $$(A\otimes B)_n=\oplus_{p+q=n}A_p\otimes B_q, \quad \partial_n (a\otimes b)=(\partial^Aa)\otimes b +(-1)^{|a|}a\otimes(\partial^Bb).$$
In dieser Schreibweise wird stillschweigend angenommen, dass $a\in A_p$ für ein $p$ gilt, d.h. $a$ ist keine Summe von Elementen in verschiedenen Graden. Dies $p$ wird mit $|a|$ bezeichnet. Das auftretende Vorzeichen ist notwendig, damit $\partial\circ \partial=0$ erfüllt ist. Das Tensorprodukt von Kokettenkomplexen ist mittels der gleichen Formeln definiert. Insbesondere erfüllt das Differential die obige graduierte Leibniz-Regel.
Es sei nun $X$ ein topologischer Raum, $R$ ein kommutativer Ring mit $1$ und $C^*_{sing}(X;R)$ der singuläre Kokettenkomplex. Eine Kokette $\phi\in C^k_{sing}(X;R)$ ordnet also jedem singulären $k$-Simplex $\sigma\colon \Delta_k[e_0,\ldots,e_k]\to X$ eine Zahl $\phi(\sigma)\in R$ zu.
2.2.14. Definition. Das Cup-Produkt $$C^k_{sing}(X;R)\otimes_R C^\ell_{sing}(X;R)\to C^{k+\ell}_{sing}(X;R),\quad \phi\otimes_R \psi\mapsto \phi\cup\psi$$ singulärer Koketten wird beschrieben durch die Formel $$
(\phi\cup\psi)(\sigma)=\phi\left(\sigma|_{[e_0,\ldots,e_k]}\right)\cdot \psi\left(\sigma|_{[e_k,\ldots,e_{k+\ell}]}\right).
$$
Hier bezeichnet $\sigma|_{[e_0,\ldots,e_k]}$ die Einschränkung der stetigen Abbildung $\sigma\colon \Delta_{k+\ell}=[e_0,\ldots,e_{k+\ell}]\to X$ auf das affine Teilsimplex $[e_0,\ldots,e_k]\subset [e_0,\ldots,e_{k+\ell}]$, das von den ersten $(k+1)$ Ecken aufgespannt wird, und $\sigma|_{[e_k,\ldots,e_{k+\ell}]}$ in analoger Weise die Einschränkung auf das von den letzten $(\ell+1)$ Ecken aufgespannte affine Teilsimplex.
2.2.15. Lemma. Das Cup-Produkt $$C^*_{sing}(X;R)\otimes_R C^*_{sing}(X;R)\to C^*_{sing}(X;R)$$ ist eine Koketten-Abbildung, d.h. es gilt $$
\delta (\phi\cup\psi)=(\delta\phi)\cup\psi+(-1)^{|\phi|}\phi\cup(\delta\psi).
$$
Beweis. Wir rechnen nach. Der letzte Summand in der ersten Summe $$\begin{aligned}
\left((\delta\phi)\cup \psi\right)(\sigma)=
&\sum_{i=0}^{k+1} (-1)^i\phi\left(\sigma|_{[e_0,\ldots,\widehat{e}_i,\ldots,e_{k+1}]}\right)\cdot\psi\left(\sigma|_{[e_{k+1},\ldots,e_{k+\ell+1}]}\right)\\
(-1)^k\left(\phi\cup (\delta\psi)\right)(\sigma)=
&\sum_{i=k}^{k+\ell+1} (-1)^i\phi\left(\sigma|_{[e_0,\ldots\ldots,e_{k}]}\right)\cdot\psi\left(\sigma|_{[e_{k},\ldots,\widehat{e}_i,\ldots,e_{k+\ell+1}]}\right)\\
\delta (\phi\cup\psi)(\sigma)=
&\sum_{i=0}^{k} (-1)^i\phi\left(\sigma|_{[e_0,\ldots,\widehat{e}_i,\ldots, e_{k+1}]}\right)\cdot\psi\left(\sigma|_{[e_{k+1},\ldots,e_{k+\ell+1}]}\right)\\
&+\sum_{i=k+1}^{k+\ell+1} (-1)^i\phi\left(\sigma|_{[e_0,\ldots\ldots, e_{k}]}\right)\cdot\psi\left(\sigma|_{[e_{k},\ldots,\widehat{e}_i,\ldots,e_{k+\ell+1}]}\right)\end{aligned}$$ hebt sich weg gegen den ersten Summanden in der zweiten Summe.
qed
2.2.16. Korollar. Das Cup-Produkt $$C^*_{sing}(X;R)\otimes_R C^*_{sing}(X;R)\to C^*_{sing}(X;R)$$ induziert ein Cup-Produkt $$H^*_{sing}(X;R)\otimes_R H^*_{sing}(X;R)\to H^*_{sing}(X;R).$$
Beweis. Sind $\phi\in \ker\delta^k$ und $\psi\in \ker\delta^\ell$, so gilt $$\delta(\phi\cup\psi)=(\delta\phi)\cup\psi+(-1)^k(\phi\cup(\delta\psi)=0.$$ Ist darüberhinaus $\phi=\delta\Phi$ oder $\psi=\delta\Psi$, so gilt $\phi\cup\psi=\delta\left(\Phi\cup\psi\right)$ oder $\phi\cup\psi=(-1)^{k}\delta\left(\phi\cup\Psi\right)$.
qed