Manche Kohomologietheorien kommen mit einer zusätzlichen multiplikativen Struktur. Eine solche multiplikative Struktur besitzt zwei Erscheinungsformen, nämlich ein inneres Produkt, genannt Cup-Produkt, sowie ein äußeres, welches auch als Kreuz-Produkt bezeichnet wird. Auf den ersten Blick sind die beiden Produkte in völlig unterschiedlichen Situationen definiert. Sie sind jedoch äquivalent: Sobald eines der Produkte existiert, lässt sich das andere daraus konstruieren. Wir werden die beiden Produkte nacheinander axiomatisch formulieren, danach zeigen, auf welche Weise sie auseinander abgeleitet werden können. Direkt aus den Axiomen bestimmen wir dann die Produktstruktur einer gewöhnlichen Kohomologietheorie im Falle von projektiven Räumen vollständig. Um uns zu vergewissern, dass wir hier kein auf der leeren Menge basierendes Theoriegebäude zusammenphantasieren, konstruieren wir schließlich eine solche Produktstruktur für den Fall der singulären Kohomologie.