Im letzten Abschnitt führte ich Ihnen eine Berechnung des Gaußschen Fehlerintegrals vor. Es ist die kürzeste und eleganteste mir bekannte Berechnung mit eindimensionalen Methoden. Es geht allerdings deutlich einfacher und kürzer, wenn man mehrdimensionale Techniken anwendet.
Fehlerintegral von Gauß 4.6.4.
$$
\int\limits^\infty_{-\infty}\exp(-x^2)dx=\sqrt{\pi}.
$$
Zweiter Beweis mit mehrdimensionalen Techniken. Das Quadrat des gesuchten Integrals berechnet sich wie folgt:
\begin{aligned}\left(\int\limits^\infty_{-\infty}\exp(-x^2)dx\right)^2 &= \int\limits_{\mathbb R^2}\exp\left(-(x^2+y^2)\right)\,dxdy\\
&= \int\limits^{2\pi}_{0}\left(\int\limits^\infty_{0}\exp(-r^2)\,rdr\right)d\phi\\
&=\int\limits^{2\pi}_{0}\left(\int\limits^\infty_{0}\frac12\exp(-t)\,dt\right)d\phi\\
&=\int\limits^{2\pi}_{0}\left[-\frac12\exp(-t)\right]_0^\infty\,d\phi\\
&=\int\limits^{2\pi}_{0}\frac12\,d\phi\\
&=\pi.
\end{aligned} Zuerst lässt es sich als Doppelintegral über die Ebene darstellen. Koordinatenwechsel von euklidischen zu Polarkoordinaten liefert einen nur vom Radius $r=\sqrt{x^2+y^2}$ abhängigen Integranden. Eine Variablensubstitution $t=r^2$ macht das innere Integral elementar lösbar.
qed
Wenn auch einige der Schritte noch nicht als legitim bewiesen sind, so fällt auf, dass dieser zweite Beweis deutlich einfacher ist und auch, zumindest ansatzweise, erklärt, warum und wie die Kreiszahl $\pi$ bei der Berechnung des Fehlerintegrals auftaucht. Das Aufgeben einer rein eindimensionalen Sichtweise, so sehen wir jedenfalls , hat deutliche Vorteile. Eine andere Lehre sollte sein, dass man immer versuchen sollte, ein der Problemstellung angepasstes Koordinatensystem zu verwenden.